Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 54 стр.

54     Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

линейно выражался бы через B0 . По второму утверждению предло-
жения 3.1., отсюда следовала бы линейная зависимость B, что про-
тиворечит предположению. Значит, никакая подсистема системы B,
отличная от B, не является порождающей.
   4. Докажем импликацию (4) ⇒ (1).
   Пусть с.в. B является минимальной порождающей для V. До-
кажем, что B — базис. Для этого достаточно установить линей-
ную независимость B. Предположим противное. Тогда, по второ-
му утверждению предложения 3.1, найдется вектор b, принадлежа-
щий B и линейно выражающийся через подсистему B 0 , полученную
из B выбрасыванием этого вектора. Нетрудно понять, что с.в. B0 яв-
ляется порождающей. (В самом деле, всякий вектор x ∈ V линейно
выражается через B. Подставив в это выражение, вместо вектора b,
его разложение по B0 и произведя необходимые упрощения, мы полу-
чим в итоге линейное выражение x через B0 .) Возникает противоре-
чие с минимальностью B среди порождающих систем. Стало быть,
предположение о линейной зависимости этой системы ложно. ¤

  4.3. Теорема существования базиса для к.л.п. Как уже от-
мечалось выше, (конечный) базис может существовать только в ко-
нечномерном линейном пространстве. Сейчас мы докажем, что в
любом конечномерном пространстве базис существует.

  Теорема 4.2. Пусть V — к.л.п. над полем P. Тогда
  1) в пространстве V существует (конечный) базис;
  2) в любой (конечной) с.в., порождающей V, существует подсисте-
ма, являющаяся базисом.
   Доказательство. Поскольку, в силу определения 2.5, в к.л.п. су-
ществует конечная порождающая с.в., доказательство можно сразу
начать со второго пункта.
   Пусть конечная с.в. A порождает V. Тогда
   — либо A является минимальной порождающей и, следовательно,
в силу теоремы 4.1, — базисом;
   — либо в A найдется подсистема A0 (содержащая меньше векто-
ров, чем A), также являющаяся порождающей.
   Во втором случае по отношению к A0 возникают те же логические
возможности. Продолжая процесс, на каждом этапе которого мощ-
ность порождающей с.в. строго уменьшается, мы с неизбежностью
(за конечное число шагов) доберемся до базиса. ¤