Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 52 стр.

52       Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

го, который равен единице и располагается в позиции, указываемой
двумя номерами в обозначении.)
   В пространстве многочленов Pn [x] (см. пример 1.3) естественный
базис составляют одночлены xk (k = 0, , , , , n) [см. (2.6)].
   В пространстве C над R (см. пример 1.4) базис составляют две
единицы: настоящая и мнимая.
   В абстрактных к.л.п., хотя и существуют базисы, но все они рав-
ноправны (среди них нет выделенного, который можно было бы на-
звать естественным).


   4.2. Четыре способа характеризации базисов. В этом пунк-
те мы сформулируем теорему, в которой будут сведены четыре утве-
рждения, каждое из которых равносильно свойству "система векто-
ров является базисом".

   Теорема 4.1. Пусть V — линейное пространство над полем P, а
B — конечная с.в. вида (4.1) в пространстве V. Следующие четыре
утверждения равносильны.
   (1) С.в. B является (конечным) базисом в V (т. е. B линейно неза-
висима и порождает V ).
   (2) С.в. B является порождающей и обладает свойством един-
ственности разложения (т. е. любой вектор пространства V одно-
значно разлагается по B).
   (3) С.в. B является максимальной линейно независимой (т. е. B
линейно независима и всякая с.в., строго содержащая B, является
линейно зависимой).
   (4) С.в. B является минимальной порождающей (т. е. B порож-
дает V и всякая с.в., строго содержащаяся в B, не является по-
рождающей).
     Доказательство будет организовано по циклу:

                    (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) .

   На всех его этапах следует иметь в виду, что перестановка эле-
ментов в с.в. не отражается на ее свойствах, таких как линейная
(не)зависимость или свойство "быть порождающей для V ".
   1. Импликация (1) ⇒ (2) уже установлена (см. комментарии после
определения 4.1).
   2. Докажем импликацию (2) ⇒ (3).