Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 51 стр.

§4             Базисы в линейных пространствах                 51

   Проанализируем данное выше определение. Из первого его усло-
вия вытекает, что линейное пространство, имеющее конечный базис,
обязательно конечномерно (см. определение 2.5). Ниже, в п. 4.3 мы
докажем обратное утверждению — теорему существования (конеч-
ного) базиса для любого к.л.п.
   Из второго условия определения 4.1, с учетом предложения 3.2,
следует, что всякий вектор x ∈ V однозначно разлагается по базису
(4.1), т. е. существуют и однозначно определены скаляры λi ∈ P
(i = 1, ..., n), такие, что
                               Xn
                            x=    λi bi .                    (4.2)
                               i=1

   Базисом нулевого пространства служит пустая с.в. Свойство с.в.
"быть (конечным) базисом" не зависит от порядка векторов в си-
стеме. Но если в базисе произвести (нетривиальную) перестановку
векторов — это будет уже другой базис.
   Замечание 4.1. Как уже отмечалось, предметом изучения линей-
ной алгебры являются именно конечномерные линейные простран-
ства (и их линейные отображения). Поэтому в дальнейшем уточне-
ние конечный перед термином базис будет, как правило, опускаться.
   Здесь мы только оговорим, что можно ввести общее понятие (ал-
гебраического) базиса для произвольных (может быть, бесконечно-
мерных) линейных пространств. Иногда такие базисы называются
базисами Гамеля. При их изучении удобнее бывает перейти от рас-
смотрения систем векторов (как упорядоченных списков) к рассмот-
рению (неупорядоченных) подмножеств (см. пп. 2.2, 3.3). Несколько
подробнее мы остановимся на этих вопросах ниже, в п. 4.4. (Пре-
дупредим, однако, что бесконечные алгебраические базисы беспер-
спективны в вычислительных приложениях. Это — "мысленные ар-
тефакты", позволяющие сочинить красивую общую теорию.)
   Там же мы приведем краткие сведения о весьма полезных (и в
теории, и для практических приложений) бесконечномерных объек-
тах — топологических базисах (ср. с информацией в замечании 2.3).
  Пример 4.1. В арифметическом линейном пространстве P n су-
ществует естественный базис En [см. (2.11)]. Так же обстоит дело в
некоторых пространствах, родственных арифметическим.
  Скажем, в пространстве (m × n)-матриц Mat(m, n; P ) (см. при-
мер 1.1) естественный базис составляют матрицы Eij (i = 1, ..., m;
j = 1, ..., n). (Все элементы матрицы Eij равны нулю, кроме одно-