Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 3 Линейно зависимые (независимые) системы векторов 49
Система комплексных показательных функций
T
0
= [ e
−nix
, ... , e
−2ix
, e
−ix
, e
0·x
, e
ix
, e
2ix
, ... , e
nix
] (3.13
0
)
линейно независима (в силу результата примера 3.2, с учетом заме-
чания 3.2). Поэтому равенство (3.16) влечет обращение в нуль всех
(комплексных) коэффициентов γ
k
(−n 6 k 6 n). Выражения (3.17)
для γ
k
позволяют заключить отсюда, что обращаются в нуль все
(действительные) коэффициенты, фигурирующие в (3.14).
Последний пример будет несложным упражнением.
Пример 3.4. Рассмотрим систему степенных функций
A
n
= [ x
α
1
, x
α
2
, ... , x
α
n
], (3.18)
где α
k
(k = 1, ..., n) — попарно различные действительные числа, а
областью определения считается положительная полуось D = (0, ∞).
Докажите, что с.в. (3.18) линейно независима в пространстве
C
∞
(D, R).
Указание. Воспользуйтесь представлением x
α
k
= e
α
k
·ln x
и заме-
ной переменной y = ln x.
Замечание 3.3.
∗
Предложению 3.3 и последующим примерам мож-
но придать другую форму, если вместо конечных систем функций
[(3.6), (3.11), (3.13) и (3.18)] рассмотреть аналогичные бесконечные
системы или бесконечные множества векторов-функций.
Скажем, в условиях предложения 3.3 можно рассмотреть беско-
нечное множество (попарно различных) бесконечно гладких функ-
ций
A = {f
1
(x), f
2
(x), ... , f
k
(x), ... }. (3.6a)
Линейная зависимость (в смысле определения 3.1а) бесконечного
множества (3.6а) влечет обращение в (тождественный) нуль опреде-
лителя Вронского, отвечающего некоторому конечному подмноже-
ству множества (3.6а). Всякое конечное подмножество в A можно
расширить до подмножества A
n
, содержащего первые n функций
[оно соответствует системе A
n
вида (3.6)]. Причем очевидно, что
вронскиан, отвечающий A
n
, равен нулю (как и все вронскианы с
б´ольшими номерами).
Если же все вронскианы W
A
n
(x) будут отличны от тождествен-
ного нуля, то множество (3.6а) будет линейно независимым.
§3     Линейно зависимые (независимые) системы векторов                              49

     Система комплексных показательных функций

         T 0 = [ e−nix , ... , e−2ix , e−ix , e0·x , eix , e2ix , ... , enix ]   (3.130 )

линейно независима (в силу результата примера 3.2, с учетом заме-
чания 3.2). Поэтому равенство (3.16) влечет обращение в нуль всех
(комплексных) коэффициентов γk (−n 6 k 6 n). Выражения (3.17)
для γk позволяют заключить отсюда, что обращаются в нуль все
(действительные) коэффициенты, фигурирующие в (3.14).
     Последний пример будет несложным упражнением.
     Пример 3.4. Рассмотрим систему степенных функций

                              An = [ xα1 , xα2 , ... , xαn ],                    (3.18)

где αk (k = 1, ..., n) — попарно различные действительные числа, а
областью определения считается положительная полуось D = (0, ∞).
   Докажите, что с.в. (3.18) линейно независима в пространстве
 ∞
C (D, R).
   Указание. Воспользуйтесь представлением xαk = eαk ·ln x и заме-
ной переменной y = ln x.

   Замечание 3.3.∗ Предложению 3.3 и последующим примерам мож-
но придать другую форму, если вместо конечных систем функций
[(3.6), (3.11), (3.13) и (3.18)] рассмотреть аналогичные бесконечные
системы или бесконечные множества векторов-функций.
   Скажем, в условиях предложения 3.3 можно рассмотреть беско-
нечное множество (попарно различных) бесконечно гладких функ-
ций
                     A = { f1 (x), f2 (x), ... , fk (x), ... }. (3.6a)
   Линейная зависимость (в смысле определения 3.1а) бесконечного
множества (3.6а) влечет обращение в (тождественный) нуль опреде-
лителя Вронского, отвечающего некоторому конечному подмноже-
ству множества (3.6а). Всякое конечное подмножество в A можно
расширить до подмножества An , содержащего первые n функций
[оно соответствует системе An вида (3.6)]. Причем очевидно, что
вронскиан, отвечающий An , равен нулю (как и все вронскианы с
бо́льшими номерами).
   Если же все вронскианы WAn (x) будут отличны от тождествен-
ного нуля, то множество (3.6а) будет линейно независимым.

Страницы