Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 3 Линейно зависимые (независимые) системы векторов 47
где λ
k
(k = 1, ..., n) — попарно различные действительные числа.
Докажем, что эта с.в. линейно независима.
Для этого достаточно вычислить все производные (до порядка
n−1 включительно) от составляющих систему (3.11) показательных
функций, а затем заполнить и вычислить вронскиан. В вычислениях
нам понадобится свойство вынесения общего (в столбце) множите-
ля за знак определителя и встретится известный (см. [A
1
, п. 30а.5])
определитель Вандермонда:
W
A
n
(x) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
e
λ
1
x
e
λ
2
x
··· e
λ
n
x
λ
1
e
λ
1
x
λ
2
e
λ
2
x
··· λ
n
e
λ
n
x
λ
2
1
e
λ
1
x
λ
2
2
e
λ
2
x
··· λ
2
n
e
λ
n
x
··· ··· ··· ···
λ
n−1
1
e
λ
1
x
λ
n−1
2
e
λ
2
x
··· λ
n−1
n
e
λ
n
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= e
λ
1
x
e
λ
2
x
... e
λ
n
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 ··· 1
λ
1
λ
2
··· λ
n
λ
2
1
λ
2
2
··· λ
2
n
··· ··· ··· ···
λ
n−1
1
λ
n−1
2
··· λ
n−1
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= e
λ
1
x
e
λ
2
x
... e
λ
n
x
∆
n
(λ
1
, λ
2
, ... , λ
n
) =
= e
λ
1
x
e
λ
2
x
... e
λ
n
x
Y
16k<l6n
(λ
l
− λ
k
) .
Результат вычислений отличен от нуля, ибо все показательные
множители в нуль не обращаются и произведение также является
ненулевым (в силу предположения о том, что λ
k
попарно различны).
По предложению 3.3, система функций (3.11) линейно независима.
Замечание 3.2. Все вычисления и вывод примера 3.2 остаются в
силе в случае комплексных чисел λ
k
= α
k
+iβ
k
(k = 1, ..., n); при этом
показательные функции определяются известными (см. [A
1
, п. 34.2])
формулами
f
k
(x) = e
λ
k
x
= e
α
k
x
(cos β
k
x + i sin β
k
x) (3.12)
и являются бесконечно гладкими комплексными функциями дей-
ствительной переменной [ f
k
∈ W = C
∞
(R, C) ].
Такое заключение основано на том факте, что все формулы диф-
ферециального исчисления, относящиеся к показательной функции
§3    Линейно зависимые (независимые) системы векторов                     47

где λk (k = 1, ..., n) — попарно различные действительные числа.
Докажем, что эта с.в. линейно независима.
   Для этого достаточно вычислить все производные (до порядка
n−1 включительно) от составляющих систему (3.11) показательных
функций, а затем заполнить и вычислить вронскиан. В вычислениях
нам понадобится свойство вынесения общего (в столбце) множите-
ля за знак определителя и встретится известный (см. [A1 , п. 30а.5])
определитель Вандермонда:

                 ¯                                               ¯
                 ¯ eλ1 x               eλ2 x   ···     eλn x ¯
                 ¯                                               ¯
                 ¯ λ1 eλ1 x          λ2 eλ2 x  ···    λn eλn x ¯
                 ¯                                               ¯
       WAn (x) = ¯ λ21 eλ1 x         λ22 eλ2 x ···    λ2n eλn x ¯ =
                 ¯                                               ¯
                 ¯ ···                  ···    ···       ···     ¯
                 ¯ n−1 λ1 x          n−1 λ2 x         n−1 λn x ¯
                   λ1 e             λ2 e       · · · λn e
                                        ¯                          ¯
                                        ¯ 1       1   ···       1 ¯
                                        ¯                          ¯
                                        ¯ λ1     λ2   ···      λn ¯
                                        ¯                          ¯
                = eλ1 x eλ2 x ... eλn x ¯ λ21    λ22  ···      λ2n ¯ =
                                        ¯                          ¯
                                        ¯ ···   ···   ···      ··· ¯
                                        ¯ n−1                      ¯
                                          λ1   λn−1
                                                 2    · · · λn−1
                                                               n
                = eλ1 x eλ2 x ... eλn x ∆n (λ1 , λ2 , ... , λn ) =
                                          Y
                   λ1 x λ2 x       λn x
                = e e ... e                      (λl − λk ) .
                                       16k

Страницы