Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

48 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
действительной переменной, сохраняют свою силу в поле C [об этом
мы упоминали в первом пособии; см. формулу (34.6)].
Пример 3.2, с учетом замечания 3.2, позволяет рассмотреть еще
один важнейший пример, напрямую связанный с так называемым
анализом Фурье — особой ветвью математическуго анализа, иссле-
дующей колебательные процессы в природе (и, в частности, разъяс-
няющей, что такое музыка).
Пример 3.3. Рассмотрим следующую систему из 2n + 1 беско-
нечно гладких (тригонометрических) функций :
T = [ 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos nx, sin nx ]. (3.13)
Докажем, что система (3.13) является линейно независимой. Рас-
смотрим произвольную линейную комбинацию с.в. T , значение ко-
торой равно нулю:
α
0
· 1 + α
1
· cos x + β
1
· sin x + α
2
· cos 2x + β
2
· sin 2x +
+ ... + α
n
· cos nx + β
n
· sin nx = 0. (3.14)
Коэффициенты α
k
и β
l
(k = 0, ..., n; l = 1, ..., n) в формуле (3.14)
являются действительными числами. Надо доказать, что все они
равны нулю.
Первую функцию в системе (константу) мы представим в виде
1 = e
0·x
. Косинусы и синусы представим по формулам Эйлера (см.
[A
1
, п. 34.3]):
cos kx =
1
2
(e
ikx
+ e
−ikx
); sin kx =
1
2i
(e
ikx
− e
−ik x
). (3.15)
Подставляя (3.15) в (3.14), производя группировку по показатель-
ным функциям и упрощая выражения для (комплексных) коэффи-
циентов перед ними, получим:
γ
0
· e
0·x
+ γ
1
· e
ix
+ γ
2
· e
2ix
+ ... + γ
n
· e
nix
+
+ γ
−1
· e
−ix
+ γ
−2
· e
−2ix
+ ... + γ
−n
· e
−nix
= 0, (3.16)
где
γ
0
= α
0
: γ
k
=
α
k
− iβ
k
2
; γ
−k
=
α
k
+ iβ
k
2
(k = 1, ..., n). (3.17)
48      Линейные пространства. Базисы и размерности                     Гл. 1

действительной переменной, сохраняют свою силу в поле C [об этом
мы упоминали в первом пособии; см. формулу (34.6)].
  Пример 3.2, с учетом замечания 3.2, позволяет рассмотреть еще
один важнейший пример, напрямую связанный с так называемым
анализом Фурье — особой ветвью математическуго анализа, иссле-
дующей колебательные процессы в природе (и, в частности, разъяс-
няющей, что такое музыка).
  Пример 3.3. Рассмотрим следующую систему из 2n + 1 беско-
нечно гладких (тригонометрических) функций :

       T = [ 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos nx, sin nx ].   (3.13)

  Докажем, что система (3.13) является линейно независимой. Рас-
смотрим произвольную линейную комбинацию с.в. T , значение ко-
торой равно нулю:

  α0 · 1 + α1 · cos x + β1 · sin x + α2 · cos 2x + β2 · sin 2x +
                              + ... + αn · cos nx + βn · sin nx = 0.    (3.14)

  Коэффициенты αk и βl (k = 0, ..., n; l = 1, ..., n) в формуле (3.14)
являются действительными числами. Надо доказать, что все они
равны нулю.
  Первую функцию в системе (константу) мы представим в виде
1 = e0·x . Косинусы и синусы представим по формулам Эйлера (см.
[A1 , п. 34.3]):

                  1 ikx                   1
       cos kx =     (e + e−ikx ); sin kx = (eikx − e−ikx ).             (3.15)
                  2                       2i
  Подставляя (3.15) в (3.14), производя группировку по показатель-
ным функциям и упрощая выражения для (комплексных) коэффи-
циентов перед ними, получим:

  γ0 · e0·x + γ1 · eix + γ2 · e2ix + ... + γn · enix +
                + γ−1 · e−ix + γ−2 · e−2ix + ... + γ−n · e−nix = 0,     (3.16)

где

                       αk − iβk         αk + iβk
      γ0 = α0 : γk =            ; γ−k =          (k = 1, ..., n).       (3.17)
                          2                2

Страницы