Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

46 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Систему соотношений (3.10) можно рассматривать как квадрат-
ную систему из n линейных однородных уравнений относительно n
действительных неизвестных λ
k
.
Матрицей этой системы служит матрица Вронского (3.7); пере-
менная x фигурирует в ней в качестве параметра. Краткой записью
однородной с.л.у. (3.10) будет
M
A
n
(x) · λ = 0, (3.10a)
где λ — вектор-столбец неизвестных, принадлежащий R
n
.
По предположению, существует набор чисел λ
k
(среди которых
есть ненулевые), удовлетворяющий (3.10) при любом значении пере-
менной x ∈ D. Следовательно, эта однородная с.л.у. имеет нетри-
виальное решение (при всяком x). Это возможно, лишь если (при
любом значении переменной) матрица Вронского вырождена, или,
что равносильно, определитель Вронского равен нулю (см. [A
1
, пп.
6.2, 28.2]). ¤
Ниже мы будем пользоваться предложением 3.3 в форме доста-
точного условия линейной независимости системы векторов-функ-
ций: если вронскиан W
A
n
(x) отличен от нуля хотя бы в одной точке
области определения функций, то (в этой области) система A
n
яв-
ляется линейно независимой.
Замечание 3.1. Наряду с действительным линейным пространст-
вом V = C
∞
(D, R), можно рассматривать комплексное пространство
W = C
∞
(D, C), состоящее из бесконечно гладких комплексных функ-
ций действительной переменной. Комплексная функция w = f(x)
действительной переменной x ∈ D ⊆ R определяется как выражение
f(x) = g(x) + ih(x), где u = g(x) и v = h(x) являются действитель-
ными гладкими функциями (g, h ∈ V ). Пространство W является
линейным пространством над полем C. Основные понятия матема-
тического анализа, такие как понятия предела, производной и т. д.,
без каких-либо изменений переносятся на случай комплексных функ-
ций, с сохраненим всех основных фактов, формул и правил. (Мни-
мая единица фигурирует в вычислениях как константа.)
Предложение 3.3 также, очевидно, сохраняет силу для комплекс-
ных гладких функций действительной переменной.
Пример 3.2. Рассмотрим следующую систему гладких функций
[векторов пространства V = C
∞
(R, R) ]:
A
n
= [ e
λ
1
x
, e
λ
2
x
, ... , e
λ
n
x
], (3.11)
46     Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

  Систему соотношений (3.10) можно рассматривать как квадрат-
ную систему из n линейных однородных уравнений относительно n
действительных неизвестных λk .
  Матрицей этой системы служит матрица Вронского (3.7); пере-
менная x фигурирует в ней в качестве параметра. Краткой записью
однородной с.л.у. (3.10) будет

                           MAn (x) · λ = 0,                 (3.10a)

где λ — вектор-столбец неизвестных, принадлежащий Rn .
   По предположению, существует набор чисел λk (среди которых
есть ненулевые), удовлетворяющий (3.10) при любом значении пере-
менной x ∈ D. Следовательно, эта однородная с.л.у. имеет нетри-
виальное решение (при всяком x). Это возможно, лишь если (при
любом значении переменной) матрица Вронского вырождена, или,
что равносильно, определитель Вронского равен нулю (см. [A1 , пп.
6.2, 28.2]). ¤
  Ниже мы будем пользоваться предложением 3.3 в форме доста-
точного условия линейной независимости системы векторов-функ-
ций: если вронскиан WAn (x) отличен от нуля хотя бы в одной точке
области определения функций, то (в этой области) система An яв-
ляется линейно независимой.
   Замечание 3.1. Наряду с действительным линейным пространст-
вом V = C ∞ (D, R), можно рассматривать комплексное пространство
W = C ∞ (D, C), состоящее из бесконечно гладких комплексных функ-
ций действительной переменной. Комплексная функция w = f (x)
действительной переменной x ∈ D ⊆ R определяется как выражение
f (x) = g(x) + ih(x), где u = g(x) и v = h(x) являются действитель-
ными гладкими функциями (g, h ∈ V ). Пространство W является
линейным пространством над полем C. Основные понятия матема-
тического анализа, такие как понятия предела, производной и т. д.,
без каких-либо изменений переносятся на случай комплексных функ-
ций, с сохраненим всех основных фактов, формул и правил. (Мни-
мая единица фигурирует в вычислениях как константа.)
   Предложение 3.3 также, очевидно, сохраняет силу для комплекс-
ных гладких функций действительной переменной.
   Пример 3.2. Рассмотрим следующую систему гладких функций
[векторов пространства V = C ∞ (R, R) ]:

                    An = [ eλ1 x , eλ2 x , ... , eλn x ],    (3.11)

Страницы