Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

44 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Определение 3.1a. Бесконечное подмножество A ⊆ V называ-
ется линейно зависимым, если существует конечное подмножество
A
0
⊂ A, являющееся линейно зависимым (в смысле определения 3.1).
Как обычно, линейная независимость определяется через отрица-
ние линейной зависимости. Законы математической логики приво-
дят нас к следующему пониманию свойства линейной независимости:
бесконечное подмножество является линейно независимым тогда и
только тогда, когда таковым является каждое его конечное подмно-
жество.
Пример 3.1. Порождающая система из единичных векторов E
n
[см. (2.11)] является линейно независимой в арифметическом линей-
ном пространстве P
n
.
Аналогично, в пространстве P
n
[x], изоморфном P
n+1
, порожда-
ющая система одночленов B
n
[см. (2.6)] является линейно незави-
симой. Это легко следует из определения равенства многочленов:
многочлен (2.12) равен нулю тогда и только тогда, когда все его ко-
эффициенты равны нулю.
Рассмотрим теперь в пространстве всех многочленов P [x] беско-
нечное порождающее множество B всех одночленов [см. (2.10)]. Со-
гласно определению 3.1а, оно будет линейно независимым. В самом
деле, всякое конечное подмножество A в множестве B может быть
включено в некоторое конечное множество вида B
n
(содержащее те
же элементы, что и список B
n
). Линейная независимость B
n
влечет
(в силу предложения 3.1) линейную независимость A.
3.4. Линейно независимые системы векторов в функци-
ональных пространствах. Рассмотрим линейное пространство
V = C
∞
(D, R) бесконечно гладких функций на (конечном или бес-
конечном) открытом интервале D ⊆ R. (Ранее, в примере 1.7, мы
рассматривали пространство 1-гладких, т. е. непрерывно дифферен-
цируемых, функций. Бесконечно гладкая функция обязана иметь
производные всех порядков; автоматически эти производные будут
непрерывными функциями.)
Рассмотрим какую-либо конечную с.в.
A
n
= [ f
1
(x), f
2
(x), ... , f
n
(x) ] (3.6)
в пространстве V. Для исследования вопроса о линейной зависимости
(независимости) таких систем функций используются особого рода
функциональные определители.
44     Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

   Определение 3.1a. Бесконечное подмножество A ⊆ V называ-
ется линейно зависимым, если существует конечное подмножество
A0 ⊂ A, являющееся линейно зависимым (в смысле определения 3.1).
   Как обычно, линейная независимость определяется через отрица-
ние линейной зависимости. Законы математической логики приво-
дят нас к следующему пониманию свойства линейной независимости:
бесконечное подмножество является линейно независимым тогда и
только тогда, когда таковым является каждое его конечное подмно-
жество.
   Пример 3.1. Порождающая система из единичных векторов En
[см. (2.11)] является линейно независимой в арифметическом линей-
ном пространстве P n .
   Аналогично, в пространстве Pn [x], изоморфном P n+1 , порожда-
ющая система одночленов Bn [см. (2.6)] является линейно незави-
симой. Это легко следует из определения равенства многочленов:
многочлен (2.12) равен нулю тогда и только тогда, когда все его ко-
эффициенты равны нулю.
   Рассмотрим теперь в пространстве всех многочленов P [x] беско-
нечное порождающее множество B всех одночленов [см. (2.10)]. Со-
гласно определению 3.1а, оно будет линейно независимым. В самом
деле, всякое конечное подмножество A в множестве B может быть
включено в некоторое конечное множество вида Bn (содержащее те
же элементы, что и список Bn ). Линейная независимость Bn влечет
(в силу предложения 3.1) линейную независимость A.

  3.4. Линейно независимые системы векторов в функци-
ональных пространствах. Рассмотрим линейное пространство
V = C ∞ (D, R) бесконечно гладких функций на (конечном или бес-
конечном) открытом интервале D ⊆ R. (Ранее, в примере 1.7, мы
рассматривали пространство 1-гладких, т. е. непрерывно дифферен-
цируемых, функций. Бесконечно гладкая функция обязана иметь
производные всех порядков; автоматически эти производные будут
непрерывными функциями.)
  Рассмотрим какую-либо конечную с.в.

                   An = [ f1 (x), f2 (x), ... , fn (x) ]      (3.6)

в пространстве V. Для исследования вопроса о линейной зависимости
(независимости) таких систем функций используются особого рода
функциональные определители.

Страницы