Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 42 стр.

42      Линейные пространства. Базисы и размерности               Гл. 1

   В противном случае, т. е. когда из равенства (3.1) вытекает, что
все коэффициенты равны нулю:
                          λi = 0 (i = 1, ..., k),                  (3.2)
с.в. (2.1) называется линейно независимой.
   Пустая с.в. считается линейно независимой.
   Очевидно (в силу коммутативности сложения), что факт линей-
ной зависимости (независимости) с.в. никак не связан с порядком
векторов в списке (2.1). С.в., содержащая нулевой вектор или по-
вторяющиеся векторы, является линейно зависимой.
   Вообще, все свойства линейно зависимых (независимых) с.в., изу-
ченные в пп. 9.1, 9.3 пособия [A1 ] для арифметических линейных
пространств, остаются справедливми в общей ситуации абстрактных
линейных пространств. В частности, сохраняет силу предложение
9.2, которое мы ниже, для полноты изложения, переформулируем.
   Однако предварительно нам придется более четко описать, как
понимается выражение "с.в. A является подсистемой в с.в. B" (см.
определение 2.1 и последующие комментарии). Эта фраза означа-
ет, что список (2.1) является подсписком (с сохранением порядка) в
списке
               B = [ b1 , b2 , ... , bl ]; bj ∈ V (j = 1, ..., l), (3.3)
т. е.
                    a1 = bj1 ; a2 = bj2 ; ... ; ak = bjk           (3.4)
для некоторой строго возрастающей последовательности номеров
[ j1 , j2 , ... , jk ] (1 6 j1 < j2 < ... < jk 6 l).
   Предложение 3.1. 1. Пусть B — конечная с.в. в линейном про-
странстве V , A — ее подсистема. Тогда линейная зависимость си-
стемы A влечет линейную зависимость системы B, а из линейной
независимости B следует линейная независимость A.
   2. С.в. A является линейно зависимой тогда и только тогда, когда
некоторый вектор, входящий в систему A, линейно выражается через
остальные векторы этой системы.
   3. Пусть с.в. A линейно независима, а с.в. B получается из систе-
мы A присоединением к ней (в конце списка) еще одного вектора
b ∈ V. Тогда с.в. B будет линейно зависимой в том и только том
случае, когда вектор b принадлежит линейной оболочке hAi .
   Доказательство. Вам поручается переоформить доказательство
из [A1 ], слегка изменив обозначения и терминологию. ¤