Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 3 Линейно зависимые (независимые) системы векторов 43
3.2. Свойство единственности разложения вектора по ли-
нейно независимой с.в. Как мы знаем из § 2, всякая с.в. вида (2.1)
порождает некоторое линейное подпространство — свою линейную
оболочку W = hAi. Каждый вектор x ∈ W линейно выражается
через векторы a
i
(i = 1, ..., k), или, другими словами, допускает раз-
ложение по с.в. A вида
x =
k
X
i=1
λ
i
a
i
. (3.5)
Однако коэффициенты этого разложения, λ
i
∈ P, определены,
вообще говоря, не однозначно. Иначе обстоит дело в случае, когда
данная с.в. является линейно независимой.
Предложение 3.2. Если с.в. A линейно независима, то для лю-
бого вектора x ∈ hAi разложение (3.5) определено однозначно.
Доказательство практически очевидно: если, наряду с (3.5), име-
ется аналогичное разложение
x =
k
X
i=1
µ
i
a
i
, (3.5a)
то, вычитая из первой формулы вторую, мы получаем соотношение
0 =
k
X
i=1
(λ
i
− µ
i
)a
i
,
из которого, с учетом линейной независимости A, вытекает совпаде-
ние коэффициентов: λ
i
= µ
i
(i = 1, ..., k). ¤
3.3.
∗
Понятие линейной зависимости (независимости) для
подмножеств в линейном пространстве. Так же, как в п. 2.2, в
связи с понятием линейной оболочки для с.в., в данном пункте, поль-
зуясь упомянутым выше фактом сохранения системой свойства ли-
нейной зависимости (независимости) при произвольном изменении
порядка в списке векторов, мы можем перейти от списков A вида
(2.1) к (неупорядоченным) конечным подмножествам A вида (2.1а).
Получается, что можно корректным образом говорить о линей-
ной зависимости (независимости) конечных подмножеств в линейном
пространстве. Более того, эти понятия допускают распространение
на случай бесконечных подмножеств A (в линейном пространстве V
над полем P ).
§3    Линейно зависимые (независимые) системы векторов            43

  3.2. Свойство единственности разложения вектора по ли-
нейно независимой с.в. Как мы знаем из § 2, всякая с.в. вида (2.1)
порождает некоторое линейное подпространство — свою линейную
оболочку W = hAi. Каждый вектор x ∈ W линейно выражается
через векторы ai (i = 1, ..., k), или, другими словами, допускает раз-
ложение по с.в. A вида
                                    k
                                    X
                            x=            λi ai .                (3.5)
                                    i=1

  Однако коэффициенты этого разложения, λi ∈ P, определены,
вообще говоря, не однозначно. Иначе обстоит дело в случае, когда
данная с.в. является линейно независимой.
  Предложение 3.2. Если с.в. A линейно независима, то для лю-
бого вектора x ∈ hAi разложение (3.5) определено однозначно.
   Доказательство практически очевидно: если, наряду с (3.5), име-
ется аналогичное разложение
                                    k
                                    X
                            x=            µi ai ,               (3.5a)
                                    i=1

то, вычитая из первой формулы вторую, мы получаем соотношение
                              k
                              X
                         0=         (λi − µi )ai ,
                              i=1

из которого, с учетом линейной независимости A, вытекает совпаде-
ние коэффициентов: λi = µi (i = 1, ..., k). ¤

   3.3.∗ Понятие линейной зависимости (независимости) для
подмножеств в линейном пространстве. Так же, как в п. 2.2, в
связи с понятием линейной оболочки для с.в., в данном пункте, поль-
зуясь упомянутым выше фактом сохранения системой свойства ли-
нейной зависимости (независимости) при произвольном изменении
порядка в списке векторов, мы можем перейти от списков A вида
(2.1) к (неупорядоченным) конечным подмножествам A вида (2.1а).
   Получается, что можно корректным образом говорить о линей-
ной зависимости (независимости) конечных подмножеств в линейном
пространстве. Более того, эти понятия допускают распространение
на случай бесконечных подмножеств A (в линейном пространстве V
над полем P ).

Страницы