Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 3 Линейно зависимые (независимые) системы векторов 45
Каждую из данных функций продифференцируем n −1 раз и со-
ставим квадратную матрицу n-го порядка
M
A
n
(x) =
f
1
(x) f
2
(x) ··· f
n
(x)
f
0
1
(x) f
0
2
(x) ··· f
0
n
(x)
f
00
1
(x) f
00
2
(x) ··· f
00
n
(x)
··· ··· ··· ···
f
(n−1)
1
(x) f
(n−1)
2
(x) ··· f
(n−1)
n
(x)
. (3.7)
Определение 3.2. Матрица (3.7) называется матрицей Врон-
ского, а ее определитель
W
A
n
(x) = det(M
A
n
(x)) (3.8)
называется определителем Вронского (или вронскианом) системы
функций (3.6).
Всякий определитель является полиномиальной функцией (мно-
гочленом) от своих элементов. Поэтому вронскиан (3.8), как и его
элементы, является гладкой функцией от x ∈ D.
Выведем далее необходимое условие линейной зависимости си-
стемы A
n
.
Предложение 3.3. Если система векторов-функций (3.6) линей-
но зависима, то вронскиан (3.8) тождественно равен нулю на интер-
вале D.
Доказательство. Пусть система A
n
линейно зависима, т. е. най-
дутся действительные числа λ
k
(k = 1, ..., n), не все равные нулю и
такие, что тождественно по x выполняется равенство
λ
1
f
1
(x) + λ
2
f
2
(x) + ... + λ
n
f
n
(x) = 0. (3.9)
Тождество (3.9) почленно продифференцируем n − 1 раз. Все
полученные тождества с производными, вместе с исходным тожде-
ством, объединим в следующую систему:
λ
1
f
1
(x) + λ
2
f
2
(x) + ... + λ
n
f
n
(x) = 0;
λ
1
f
0
1
(x) + λ
2
f
0
2
(x) + ... + λ
n
f
0
n
(x) = 0;
λ
1
f
00
1
(x) + λ
2
f
00
2
(x) + ... + λ
n
f
00
n
(x) = 0;
..................................................................
λ
1
f
(n−1)
1
(x) + λ
2
f
(n−1)
2
(x) + ... + λ
n
f
(n−1)
n
(x) = 0.
(3.10)
§3     Линейно зависимые (независимые) системы векторов                      45

   Каждую из данных функций продифференцируем n − 1 раз и со-
ставим квадратную матрицу n-го порядка
                                                                  
                     f1 (x)      f2 (x)         ···     fn (x)
                      0
                 f1 (x)         f20 (x)        ···     fn0 (x) 
                                                                  
      MAn (x) =  f100 (x)      f200 (x)        ···     fn00 (x)  .       (3.7)
                                                                  
                      ···         ···           ···       ···
                   (n−1)       (n−1)                   (n−1)
                  f1      (x) f2       (x)      ···   fn       (x)

   Определение 3.2. Матрица (3.7) называется матрицей Врон-
ского, а ее определитель

                          WAn (x) = det(MAn (x))                           (3.8)

называется определителем Вронского (или вронскианом) системы
функций (3.6).
   Всякий определитель является полиномиальной функцией (мно-
гочленом) от своих элементов. Поэтому вронскиан (3.8), как и его
элементы, является гладкой функцией от x ∈ D.
   Выведем далее необходимое условие линейной зависимости си-
стемы An .
  Предложение 3.3. Если система векторов-функций (3.6) линей-
но зависима, то вронскиан (3.8) тождественно равен нулю на интер-
вале D.
  Доказательство. Пусть система An линейно зависима, т. е. най-
дутся действительные числа λk (k = 1, ..., n), не все равные нулю и
такие, что тождественно по x выполняется равенство

                  λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + ... + λn fn (x) = 0.             (3.9)

   Тождество (3.9) почленно продифференцируем n − 1 раз. Все
полученные тождества с производными, вместе с исходным тожде-
ством, объединим в следующую систему:
      
       λ1 f1 (x)       + λ2 f2 (x)        + ... + λn fn (x)         = 0;
      
      
      
            0
                        + λ2 f20 (x)       + ... + λn fn0 (x)
       λ1 f1 (x)
                                                                    = 0;
        λ1 f100 (x)     + λ2 f200 (x)      + ... + λn fn00 (x)       = 0;  (3.10)
      
      
      
       ..................................................................
      
      
            (n−1)              (n−1)
        λ1 f 1      (x) + λ2 f2       (x) + ... + λn fn(n−1) (x) = 0.

Страницы