Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 40 стр.

40      Линейные пространства. Базисы и размерности               Гл. 1

    Пример 2.6. Поле C, рассматриваемое как линейное простран-
ство над полем R (см. пример 1.4), является конечномерным, по-
скольку порождается системой из двух векторов [1, i] (вспомните
алгебраическую форму записи комплексного числа z = a · 1 + b · i;
a, b ∈ R).
    В то же самое время R как расширение Q является бесконечно-
мерным линейным пространством. Это доказывается с помощью
понятия мощности множества, с которым вы знакомились в курсе
"Введение в анализ".
    Рассмотрим конечную систему A = [x1 , x2 , ... , xk ] действитель-
ных чисел (= векторов в R над Q).
    Всякий элемент x ∈ hAi представляется в виде линейной комби-
нации x = r1 x1 + r2 x2 + ... + rk xk с рациональными коэффициентами
ri ∈ Q (i = 1, ..., k) и, следовательно, определяется набором из k
рациональных чисел r1 , r2 , ..., rk . (Это соответствие не обязано быть
взаимно однозначным: разным наборам коэффициентов могут соот-
ветствовать одинаковые суммы.)
    Множество Q счетно. Множество Qk всевозможных наборов из k
рациональных чисел также счетно. Действительных чисел x, входя-
щих в hAi, во всяком случае не больше, чем наборов в Qk . Другими
словами множество hAi не более чем счетно. (На самом деле, оно в
точности счетно, поскольку бесконечно.)
    Напротив, множество R, как известно, несчетно (имеет, как гово-
рят, мощность континуума). Значит hAi 6= R, т. е. никакая конеч-
ная с.в. в R не порождает пространство R, которое, таким образом,
является бесконечномерным.
    (Имейте в виду, что рассуждение, проведенное выше, не является
вполне строгим. Чтобы достичь приемлемой строгости, надо изло-
жить довольно много довольно абстрактного теоретико-множествен-
ного материала. Все это у вас еще впереди. А пока будем полагаться
здесь не на строгость, а на убедительность.)

   Пример 2.7. Последний пример будет, по сути, упражнением,
причем — "с отложенным исполнением".
   Вернитесь к описанному в примере 1.2 линейному пространству
V = F(M, P ) функций на множестве M со значениями в поле P и
докажите, что это пространство является конечномерным тогда и
только тогда, когда множество M является конечным.
   Указание. Случай конечного множества M, состоящего, скажем,
из n элементов, совсем прост, ибо приводит к пространству V, изо-