Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 2 Системы векторов. Конечномерные пространства 39
Линейное пространство V будет бесконечномерным, если никакая
конечная с.в. не будет порождающей для V, т. е. если для любой
конечной с.в. A ее линейная оболочка hAi отлична от V.
Приведем далее несколько примеров конечномерных и бесконеч-
номерных линейных пространств.
Пример 2.3. Арифметическое линейное пространство P
n
явля-
ется конечномерным. Оно порождается давно нам знакомой (см. [A
1
,
пример 8.2]) системой единичных векторов:
E
n
= [ e
1
, e
2
, ... , e
n
]. (2.11)
Пример 2.4. Пространство P
n
[x] многочленов степени не вы-
ше n (см. пример 2.1) также является конечномерным. Напомним,
что это пространство изоморфно арифметическому линейному про-
странству
∗
P
n+1
: многочлену
f(x) = f
0
+ f
1
x + f
2
x
2
+ ... + f
n
x
n
; f
k
∈ P (k = 1, ... , n), (2.12)
где не требуется, чтобы f
n
6= 0, сопоставляется вектор-строка
f
t
= (f
0
, f
1
, ... , f
n
). (2.12a)
Пример 2.5. Пространство P [x] всех многочленов над полем P
(см. пример 1.3) является бесконечномерным. В самом деле, рас-
смотрим произвольную конечную с.в. в этом пространстве:
A = [g
1
(x), g
2
(x), ..., g
k
(x)]; g
i
(x) ∈ P [x]; deg(g
i
(x)) = n
i
(i = 1, ..., k).
По свойствам степени, всякий (ненулевой) многочлен
g(x) = λ
1
g
1
(x) + λ
2
g
2
(x) + ... + λ
k
g
k
(x) ∈ hAi
имеет степень, не превышающую n = max(n
1
, n
2
, ... , n
k
).
Значит, hAi 6= P [x].
§2        Системы векторов. Конечномерные пространства                          39

  Линейное пространство V будет бесконечномерным, если никакая
конечная с.в. не будет порождающей для V, т. е. если для любой
конечной с.в. A ее линейная оболочка hAi отлична от V.
  Приведем далее несколько примеров конечномерных и бесконеч-
номерных линейных пространств.

   Пример 2.3. Арифметическое линейное пространство P n явля-
ется конечномерным. Оно порождается давно нам знакомой (см. [A1 ,
пример 8.2]) системой единичных векторов:

                             En = [ e1 , e2 , ... , en ].                    (2.11)


  Пример 2.4. Пространство Pn [x] многочленов степени не вы-
ше n (см. пример 2.1) также является конечномерным. Напомним,
что это пространство изоморфно арифметическому линейному про-
             ∗
странству P n+1 : многочлену

     f (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fn xn ; fk ∈ P (k = 1, ... , n),      (2.12)

где не требуется, чтобы fn 6= 0, сопоставляется вектор-строка

                               t
                              f = (f0 , f1 , ... , fn ).                    (2.12a)


   Пример 2.5. Пространство P [x] всех многочленов над полем P
(см. пример 1.3) является бесконечномерным. В самом деле, рас-
смотрим произвольную конечную с.в. в этом пространстве:

A = [g1 (x), g2 (x), ..., gk (x)]; gi (x) ∈ P [x]; deg(gi (x)) = ni (i = 1, ..., k).

     По свойствам степени, всякий (ненулевой) многочлен

              g(x) = λ1 g1 (x) + λ2 g2 (x) + ... + λk gk (x) ∈ hAi

имеет степень, не превышающую n = max(n1 , n2 , ... , nk ).
  Значит, hAi 6= P [x].

Страницы