Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 37 стр.

§2       Системы векторов. Конечномерные пространства                      37

Но что самое важное, при таком подходе можно говорить об оболоч-
ке произвольного (не обязательно конечного) подмножества.
   Определение 2.3а. Пусть A — любое подмножество в линейном
пространстве V. Линейная оболочка hAi этого подмножества счита-
ется состоящей из всевозможных линейных комбинаций всевозмож-
ных конечных подмножеств множества A.
     Элементы hAi представляются в виде конечных сумм

           x = λ1 a1 + ... + λk ak ; λi ∈ P ; ai ∈ A (i = 1, ... , k),    (2.7)

где k — произвольное натуральное число.
   Следующее предложение является альтернативной версией пред-
ложения 2.1. (Здесь, в отличие от исходной версии, мы приведем
более подробное доказательство.)
  Предложение 2.1a. Для любого подмножества A в линейном
пространстве V его линейная оболочка hAi есть пересечение всех
линейных подпространств в V, содержащих данное подмножество.
     Доказательство. Пересечение
                               \
                        W0 =       {W 6 V : A ⊆ W }

всех линейных подпространств, содержащих подмножество A, само
является (см. предложение 1.2) подпространством, причем также со-
держащим A. Таким образом, W0 является наименьшим из линейных
подпространств, содержащих A.
   Кроме того, по определению подпространства, вместе с векторами
из A, в W0 содержатся произвольные конечные линейные комбина-
ции таких векторов. Следовательно, линейная оболочка hAi 6 W0 .
   С другой стороны, оболочка hAi также является подпростран-
ством в пространстве V. В самом деле, сумма x + y двух линейных
комбинаций, (2.7) и

            y = µ1 b1 + ... + µl bl ; µj ∈ P ; bj ∈ A (j = 1, ... , l),   (2.8)

является линейной комбинацией такого же вида (если указанные
разложения содержат одинаковые векторы, то при суммировании
следует провести перегруппировку и воспользоваться дистрибутив-
ностью умножения на скаляр).