Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 2 Системы векторов. Конечномерные пространства 35
Таким образом, для A 6= [ ] линейная оболочка hAi состоит из всех
векторов a ∈ V, линейно выражающихся через с.в. A. Из коммута-
тивности сложения вытекает, что линейная оболочка с.в. не зависит
от порядка векторов в системе. Возможность перегруппировки сла-
гаемых обеспечивает неизменность линейной оболочки при выбра-
сывании из с.в. повторяющихся элементов. Очевидно также, что на
линейную оболочку с.в. не повлияет выбрасывание из нее нулевого
вектора (если он присутствовал в системе).
Линейная оболочка пустой с.в. по определению считается состоя-
щей из единственного (нулевого) вектора:
h∅i = O = {0}. (2.3a)
Предложение 2.1. 1. Для любой с.в. (2.1) в линейном простран-
стве V ее линейная оболочка hAi является линейным подпростран-
ством в V, т. е.
hAi 6 V. (2.4)
2. Это линейное подпространство является наименьшим из под-
пространств в V, содержащих все векторы, входящие в A, т. е. если
для какого-либо линейного подпространства W 6 V справедливо
a
i
∈ W (∀i = 1, ..., k), то hAi ⊆ W.
Доказательство. Данное предложение получено обобщением (аб-
страгированием) предложения 8.1 пособия [A
1
]. Вам предлагается
модернизировать доказательство. (В основном это будет сводиться
к смене обозначений, в частности, — к отказу от черточек над век-
торами. Заметьте также, что и для пустой с.в. утверждение предло-
жения остается в силе.) ¤
Замечание 2.1. Легко понять, что при расширении с.в. ее линей-
ная оболочка по крайней мере не сужается. Точнее, справедливо
следующее утверждение: если с.в. A является подсистемой с.в. B,
то линейная оболочка hAi является линейным подпространством
линейной оболочки hBi.
Определение 2.4. Пусть W — линейное подпространство в про-
странстве V и A — система векторов, принадлежащих подпростран-
ству W. Говорят, что A порождает W (или является порождающей
для W ), если
hAi = W. (2.5)
Если речь идет о порождающей с.в., без указания подпростран-
ства W, то имеется в виду, что она порождает все пространство V.
§2     Системы векторов. Конечномерные пространства             35

   Таким образом, для A =
                        6 [ ] линейная оболочка hAi состоит из всех
векторов a ∈ V, линейно выражающихся через с.в. A. Из коммута-
тивности сложения вытекает, что линейная оболочка с.в. не зависит
от порядка векторов в системе. Возможность перегруппировки сла-
гаемых обеспечивает неизменность линейной оболочки при выбра-
сывании из с.в. повторяющихся элементов. Очевидно также, что на
линейную оболочку с.в. не повлияет выбрасывание из нее нулевого
вектора (если он присутствовал в системе).
   Линейная оболочка пустой с.в. по определению считается состоя-
щей из единственного (нулевого) вектора:
                          h∅i = O = {0}.                     (2.3a)
   Предложение 2.1. 1. Для любой с.в. (2.1) в линейном простран-
стве V ее линейная оболочка hAi является линейным подпростран-
ством в V, т. е.
                            hAi 6 V.                        (2.4)
   2. Это линейное подпространство является наименьшим из под-
пространств в V, содержащих все векторы, входящие в A, т. е. если
для какого-либо линейного подпространства W 6 V справедливо
ai ∈ W (∀i = 1, ..., k), то hAi ⊆ W.
   Доказательство. Данное предложение получено обобщением (аб-
страгированием) предложения 8.1 пособия [A1 ]. Вам предлагается
модернизировать доказательство. (В основном это будет сводиться
к смене обозначений, в частности, — к отказу от черточек над век-
торами. Заметьте также, что и для пустой с.в. утверждение предло-
жения остается в силе.) ¤
  Замечание 2.1. Легко понять, что при расширении с.в. ее линей-
ная оболочка по крайней мере не сужается. Точнее, справедливо
следующее утверждение: если с.в. A является подсистемой с.в. B,
то линейная оболочка hAi является линейным подпространством
линейной оболочки hBi.
   Определение 2.4. Пусть W — линейное подпространство в про-
странстве V и A — система векторов, принадлежащих подпростран-
ству W. Говорят, что A порождает W (или является порождающей
для W ), если
                            hAi = W.                      (2.5)
   Если речь идет о порождающей с.в., без указания подпростран-
ства W, то имеется в виду, что она порождает все пространство V.

Страницы