Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 2 Системы векторов. Конечномерные пространства 33
или, с учетом (V
8
):
(1 + 1) · A = A ⊕ A = O. (1.23)
Требование (1.23) будет удовлетворено, если в поле скаляров вы-
полняется равенство 1+1 = 0. Такие поля имеются, и простейшее из
них — поле классов вычетов F
2
= {0, 1}. (Заметьте, что в арифмети-
ке этого поля "нет двойки". А если все же определить: 2 = 1 + 1, то
придется считать, что 2 = 0.) Примем по определению:
0 · A
def
= O; 1 · A
def
= A (1.24)
и проверим аксиомы (V
5
) — (V
7
) . Восьмую аксиому проверять не
надо: она фигурирует как часть определения (1.24).
Три указанные аксиомы проверяются очень просто. Рассуждения
однотипны, и мы ограничимся проверкой (V
5
) :
(λ + µ) · A = λ · A ⊕ µ · A; λ, µ ∈ F
2
; A ∈ V. (1.25)
Имеют место четыре случая:
1) λ = µ = 0; 2) λ = µ = 1; 3) λ = 0; µ = 1; 4) λ = 1; µ = 0.
Первый из них тривиален, третий и четвертый ничем не отлича-
ются друг от друга и столь же тривиальны; остается убедиться в
справедливости (1.24) во втором случае. Но и это тривиально, по-
скольку выполняется в силу принятых определений [см. (1.22)].
Итак, проверены все восемь аксиом и мы можем констатировать:
множество V = 2
I
всех подмножеств непустого множества I явля-
ется линейным пространством над полем F
2
(относительно разде-
лительного сложения подмножеств и естественного умножения под-
множеств на скаляры из F
2
).
§
§
§ 2. Системы векторов
в линейных пространствах
и их линейные оболочки.
Порождающие системы векторов.
Конечномерные и бесконечномерные
линейные пространства
2.1. Системы векторов в линейном пространстве и их ли-
нейные оболочки. Пусть V — линейное пространство над полем P.
§2      Системы векторов. Конечномерные пространства             33

или, с учетом (V8 ):

                       (1 + 1) · A = A ⊕ A = O.                (1.23)

   Требование (1.23) будет удовлетворено, если в поле скаляров вы-
полняется равенство 1 + 1 = 0. Такие поля имеются, и простейшее из
них — поле классов вычетов F2 = {0, 1}. (Заметьте, что в арифмети-
ке этого поля "нет двойки". А если все же определить: 2 = 1 + 1, то
придется считать, что 2 = 0.) Примем по определению:
                              def         def
                         0 · A = O; 1 · A = A                  (1.24)

и проверим аксиомы (V5 ) — (V7 ) . Восьмую аксиому проверять не
надо: она фигурирует как часть определения (1.24).
  Три указанные аксиомы проверяются очень просто. Рассуждения
однотипны, и мы ограничимся проверкой (V5 ) :

             (λ + µ) · A = λ · A ⊕ µ · A; λ, µ ∈ F2 ; A ∈ V.   (1.25)

   Имеют место четыре случая:
   1) λ = µ = 0; 2) λ = µ = 1; 3) λ = 0; µ = 1; 4) λ = 1; µ = 0.
   Первый из них тривиален, третий и четвертый ничем не отлича-
ются друг от друга и столь же тривиальны; остается убедиться в
справедливости (1.24) во втором случае. Но и это тривиально, по-
скольку выполняется в силу принятых определений [см. (1.22)].
   Итак, проверены все восемь аксиом и мы можем констатировать:
множество V = 2I всех подмножеств непустого множества I явля-
ется линейным пространством над полем F2 (относительно разде-
лительного сложения подмножеств и естественного умножения под-
множеств на скаляры из F2 ).


                   § 2. Системы векторов
             в линейных пространствах
              и их линейные оболочки.
          Порождающие системы векторов.
         Конечномерные и бесконечномерные
               линейные пространства
  2.1. Системы векторов в линейном пространстве и их ли-
нейные оболочки. Пусть V — линейное пространство над полем P.

Страницы