Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

32 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
будет сам этот элемент: A ⊕ A = O. Так что и четвертая аксиома
справедлива.
Немного повозиться придется с первой аксиомой — ассоциативно-
стью разделительного сложения:
(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C); A, B, C ∈ V. (1.21)
Распишем левую часть формулы (1.21).
[Задание: вставьте в нижеследующих преобразованиях, над каж-
дым из знаков равенства ссылки на используемые законы булевой
алгебры (b.1) — (b.19).]
(A ⊕ B) ⊕ C = (A · B + A · B) ⊕ C =
= (A · B + A · B) · C + (A ·B + A ·B) ·C =
= A · B · C + A ·B ·C +
³
A · B · A · B
´
· C =
= A · B · C + A ·B ·C + (A + B) · (A + B) · C =
= A · B · C + A ·B ·C + A · A · C + A · B · C + B ·A ·C + B · B · C =
= A · B · C + A ·B ·C + A · B · C + A · B · C.
Получив в результате преобразования левой части (1.21) симмет-
рический (не изменяющийся при любой перестановке букв A, B, C)
результат, мы можем немедленно прийти к выводу, что после ана-
логичных преобразований в правой части, мы придем в точности
к такому же результату. Тем самым формула (1.21) доказана. Но
будет совершенно не вредно (и даже очень полезно), если вы не по-
ленитесь самостоятельно провести все упомянутые преобразования.
Ассоциативность операции ⊕ позволяет записывать выражение
A ⊕B ⊕С без использования скобок. Взгляните на диаграмму Вен-
на для разделительной суммы трех слагаемых (рис. 1.2 в прил. 2).
После этого для вас станет очевидна следующая формула:
A ⊕ B ⊕ С = A · B · C ⊕ A · B ·C ⊕ A · B · C ⊕ A · B · C. (1.22)
Итак, можно считать, что множество V является коммутативной
группой относительно разделительного сложения ⊕.
Теперь мы выберем поле скаляров и зададим на V операцию умно-
жения на скаляры. Выбор здесь совершенно ясен. В любом поле
имеется единица 1, и, чтобы удовлетворить (V
5
) , мы должны иметь
(1 + 1) · A = 1 · A ⊕ 1 · A,
32      Линейные пространства. Базисы и размерности                 Гл. 1

будет сам этот элемент: A ⊕ A = O. Так что и четвертая аксиома
справедлива.
   Немного повозиться придется с первой аксиомой — ассоциативно-
стью разделительного сложения:
               (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C); A, B, C ∈ V.              (1.21)
  Распишем левую часть формулы (1.21).
  [Задание: вставьте в нижеследующих преобразованиях, над каж-
дым из знаков равенства ссылки на используемые законы булевой
алгебры (b.1) — (b.19).]


  (A ⊕ B) ⊕ C = (A · B + A · B) ⊕ C =
       = (A · B + A · B) · C + (A · B + A · B) · C =
                                    ³             ´
          =A·B·C +A·B·C + A·B·A·B ·C =
              = A · B · C + A · B · C + (A + B) · (A + B) · C =
=A·B·C +A·B·C +A·A·C +A·B·C +B·A·C +B·B·C =
                        = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C.
  Получив в результате преобразования левой части (1.21) симмет-
рический (не изменяющийся при любой перестановке букв A, B, C)
результат, мы можем немедленно прийти к выводу, что после ана-
логичных преобразований в правой части, мы придем в точности
к такому же результату. Тем самым формула (1.21) доказана. Но
будет совершенно не вредно (и даже очень полезно), если вы не по-
ленитесь самостоятельно провести все упомянутые преобразования.
  Ассоциативность операции ⊕ позволяет записывать выражение
A ⊕ B ⊕ С без использования скобок. Взгляните на диаграмму Вен-
на для разделительной суммы трех слагаемых (рис. 1.2 в прил. 2).
После этого для вас станет очевидна следующая формула:
     A ⊕ B ⊕ С = A · B · C ⊕ A · B · C ⊕ A · B · C ⊕ A · B · C.     (1.22)
  Итак, можно считать, что множество V является коммутативной
группой относительно разделительного сложения ⊕.
  Теперь мы выберем поле скаляров и зададим на V операцию умно-
жения на скаляры. Выбор здесь совершенно ясен. В любом поле
имеется единица 1, и, чтобы удовлетворить (V5 ) , мы должны иметь
                       (1 + 1) · A = 1 · A ⊕ 1 · A,

Страницы