Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

30 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
законами (b.1) — (b.19). Не все из этих законов независимы. Боль-
шинство из них встречалось вам в курсе "Введения в анализ". Лю-
бой из них вы должны уметь доказывать и иллюстрировать на кар-
тинках (так называемых диаграммах Венна).
Обратите особое внимание на замечательную симметрию: каж-
дому из законов соответствует двойственный закон, получаемый из
исходного взаимной заменой сложения на умножение, нуля на едини-
цу. Так, закону (b.7), выражающему дистрибутивность умножения
относительно сложения, отвечает двойственный закон (b.16), выра-
жающий дистрибутивность сложения относительно умножения (та-
кого закона нет в "обычной" алгебре). Последний закон (b.19) яв-
ляется самодвойственным. Напомним, что формулы (b.9) и (b.18),
играющие исключительно важую роль в булевой алгбре (и вообще в
математике), называются законами де Моргана.
З а к о н ы б у л е в о й а л г е б р ы
(b.1) (A + B) + C = A + (B + C) (b.10) (A · B) · C = A · (B · C)
(b.2) A + B = B + A (b.11) A · B = B · A
(b.3) A + O = A (b.12) A · I = A
(b.4) A + I = I (b.13) A · O = O
(b.5) A + A = A (b.14) A · A = A
(b.6) A · (A + B) = A (b.15) A + A · B = A
(b.7) A · (B + C) = A · B + A · C (b.16) A + B · C = (A + B) · (A + C)
(b.8) A + A = I (b.17) A · A = O
(b.9) A + B = A · B (b.18) A · B = A + B
(b.19) A = A
Займемся теперь алгебраической операцией сложения (объедине-
ния) подмножеств. Законы (b.1) — (b.3) идентичны (в условиях рас-
сматриваемого примера) аксиомам (V
1
) —(V
3
) . Однако аксиома (V
4
)
не выполняется. (В самом деле, равенство A + B = O имеет место
лишь в одном случае: A = B = O, т. е. ни для какого непусто-
го подмножества не существует в булевой алгебре противоположно-
го элемента.) Значит, булево сложение не годится для наведения
в множестве V структуры линейного пространства (или хотя бы
структуры коммутативной группы).
Придется модифицировать действие сложения, в связи с чем бу-
дет уместным следующее напоминание о взаимной связи теории
множеств и математической логики.
30        Линейные пространства. Базисы и размерности              Гл. 1

законами (b.1) — (b.19). Не все из этих законов независимы. Боль-
шинство из них встречалось вам в курсе "Введения в анализ". Лю-
бой из них вы должны уметь доказывать и иллюстрировать на кар-
тинках (так называемых диаграммах Венна).
   Обратите особое внимание на замечательную симметрию: каж-
дому из законов соответствует двойственный закон, получаемый из
исходного взаимной заменой сложения на умножение, нуля на едини-
цу. Так, закону (b.7), выражающему дистрибутивность умножения
относительно сложения, отвечает двойственный закон (b.16), выра-
жающий дистрибутивность сложения относительно умножения (та-
кого закона нет в "обычной" алгебре). Последний закон (b.19) яв-
ляется самодвойственным. Напомним, что формулы (b.9) и (b.18),
играющие исключительно важую роль в булевой алгбре (и вообще в
математике), называются законами де Моргана.

                 Законы булевой алгебры

(b.1)   (A + B) + C = A + (B + C) (b.10)      (A · B) · C = A · (B · C)
(b.2)   A+B =B+A                     (b.11)   A·B =B·A
(b.3)   A+O =A                       (b.12)   A·I =A
(b.4)   A+I =I                       (b.13)   A·O =O
(b.5)   A+A=A                        (b.14)   A·A=A
(b.6)   A · (A + B) = A              (b.15)   A+A·B =A
(b.7)   A · (B + C) = A · B + A · C (b.16)    A + B · C = (A + B) · (A + C)
(b.8)   A+A=I                        (b.17)   A·A=O
(b.9)   A+B =A·B                     (b.18)   A·B =A+B
                           (b.19) A = A
   Займемся теперь алгебраической операцией сложения (объедине-
ния) подмножеств. Законы (b.1) — (b.3) идентичны (в условиях рас-
сматриваемого примера) аксиомам (V1 ) —(V3 ) . Однако аксиома (V4 )
не выполняется. (В самом деле, равенство A + B = O имеет место
лишь в одном случае: A = B = O, т. е. ни для какого непусто-
го подмножества не существует в булевой алгебре противоположно-
го элемента.) Значит, булево сложение не годится для наведения
в множестве V структуры линейного пространства (или хотя бы
структуры коммутативной группы).
   Придется модифицировать действие сложения, в связи с чем бу-
дет уместным следующее напоминание о взаимной связи теории
множеств и математической логики.

Страницы