Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 1 Аксиомы линейного пространства над полем 29
для множества всевозможных отображений из множества X в мно-
жество Y. Дело в том, что произвольное подмножество A ⊆ I од-
нозначно задается отображением (так называемой характеристиче-
ской функцией)
χ
A
: I −→ {0, 1}; χ
A
(x) =
½
0, если x 6∈ A;
1, если x ∈ A.
(1.17)
Интересно также, как в обозначении (1.16) понимается символ 2.
В теории множеств числа — это тоже множества. Знаете ли вы, что
такое натуральное число 2? Чтобы знать это, нужно знать прежде,
что такое числа 0 и 1. Число 0 определяется как пустое множество:
0 = ∅ = {}; число 1 — как множество 1 = {0}; число 2 — это множе-
ство 2 = {0, 1}; и т. д.
Экспоненциальное обозначение (1.16) напоминает также о следу-
ющем важном комбинаторном факте. В случае, когда множество
I конечно и содержит, скажем, n элементов, множество 2
I
также
конечно и содержит 2
n
элементов. (В самом деле, для любого k,
от нуля до n, имеется C
k
n
k-элементных подмножеств данного n-
элементного множества. Сумма C
0
n
+ C
1
n
+ C
2
n
+ ... + C
n
n
= 2
n
, в
силу бинома Ньютона.)
На множестве
V = 2
I
(1.18)
заданы хорошо знакомые вам алгебраические действия: объединение
и пересечение для двух подмножеств и взятие дополнения к подмно-
жеству. В рассматриваемых здесь вопросах будет уместным заме-
нить (не очень удобные в работе) знаки объединения и пересечения
на обычные знаки сложения и умножения, а дополнение обозначать
"надчеркиванием":
A + B = A ∪ B; A · B = A ∩ B; A = I \ A (A, B ∈ V ). (1.19)
Упростим мы и обозначение пустого подмножества, сделав его бо-
лее похожим на нуль: O = ∅; а принятое изначально обозначение I
для основного множества будет нам напоминать о единице.
Ниже приводится сводка из 19 законов, справедливых для алгеб-
раических действий (1.19) в множестве (1.18). В этих формулах бук-
вы A, B, C обозначают произвольные подмножества в основном мно-
жестве I.
Алгебра подмножеств (в заданном множестве) является важней-
шим примером так называемой булевой алгебры, характеризуемой
§1        Аксиомы линейного пространства над полем             29

для множества всевозможных отображений из множества X в мно-
жество Y. Дело в том, что произвольное подмножество A ⊆ I од-
нозначно задается отображением (так называемой характеристиче-
ской функцией)
                                      ½
                                        0, если x 6∈ A;
           χA : I −→ {0, 1}; χA (x) =                    (1.17)
                                        1, если x ∈ A.
   Интересно также, как в обозначении (1.16) понимается символ 2.
В теории множеств числа — это тоже множества. Знаете ли вы, что
такое натуральное число 2? Чтобы знать это, нужно знать прежде,
что такое числа 0 и 1. Число 0 определяется как пустое множество:
0 = ∅ = {}; число 1 — как множество 1 = {0}; число 2 — это множе-
ство 2 = {0, 1}; и т. д.
   Экспоненциальное обозначение (1.16) напоминает также о следу-
ющем важном комбинаторном факте. В случае, когда множество
I конечно и содержит, скажем, n элементов, множество 2I также
конечно и содержит 2n элементов. (В самом деле, для любого k,
от нуля до n, имеется Cnk k-элементных подмножеств данного n-
элементного множества. Сумма Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n , в
силу бинома Ньютона.)
   На множестве
                              V = 2I                        (1.18)
заданы хорошо знакомые вам алгебраические действия: объединение
и пересечение для двух подмножеств и взятие дополнения к подмно-
жеству. В рассматриваемых здесь вопросах будет уместным заме-
нить (не очень удобные в работе) знаки объединения и пересечения
на обычные знаки сложения и умножения, а дополнение обозначать
"надчеркиванием":

     A + B = A ∪ B; A · B = A ∩ B; A = I \ A (A, B ∈ V ).   (1.19)

  Упростим мы и обозначение пустого подмножества, сделав его бо-
лее похожим на нуль: O = ∅; а принятое изначально обозначение I
для основного множества будет нам напоминать о единице.
  Ниже приводится сводка из 19 законов, справедливых для алгеб-
раических действий (1.19) в множестве (1.18). В этих формулах бук-
вы A, B, C обозначают произвольные подмножества в основном мно-
жестве I.
  Алгебра подмножеств (в заданном множестве) является важней-
шим примером так называемой булевой алгебры, характеризуемой

Страницы