Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

28 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
При дифференцировании степень (ненулевого) многочлена понижа-
ется на единицу, поэтому последнее сужение можно представить как
гомоморфизм
0
: R
n
[x] −→ R
n−1
[x]; f(x) 7→ f
0
(x); f(x) ∈ R
n
[x], (1.14a)
который также будет (эпи-, но не моно-)морфизмом.
Пример 1.11. Останемся еще на некоторое время в сфере дей-
ствия математического анализа и рассмотрим отображение, сопо-
ставляющее функции f, непрерывной на отрезке [a, b] ⊂ R, опре-
деленный интеграл от этой функции по заданному отрезку. Зна-
чение интеграла является действительным числом. Таким образом
получается отображение из линейного пространства C([a, b], R) всех
функций, непрерывных на [a, b], в поле R, рассматриваемое как ли-
нейное пространство над самим собой:
int
[a,b]
: C([a, b], R) −→ R; f 7→
Z
b
a
f(x) dx; f ∈ C([a, b], R). (1.15)
В силу свойств определенного интеграла, отображение (1.15) яв-
ляется линейным. Очевидна его эпиморфность: для любого числа
c ∈ R можно найти функцию, интеграл от которой по отрезку [a, b]
равен числу c; достаточно взять константу f(x) = c/(b − a).
1.7.
∗
Пример линейного пространства над полем F
2
. Дан-
ный пункт не будет использоваться в дальнейшем. Он содержит
некий познавательный материал. Но будущим компьютерщикам,
для которых конечные поля и булевы алгебры являются важными
рабочими инструментами, автор не рекомендовал бы пропускать эту
необязательную вставку.
Рассмотрим произвольное непустое множество I и множество 2
I
всех его подмножеств (включая пустое и само I):
2
I
= {A : A ⊆ I }. (1.16)
Замечание 1.1. Обратите внимание на экспоненциальное обозна-
чение для множества всех подмножеств. Оно согласуется с обще-
принятым в теории множеств экспоненциальным обозначением Y
X
28           Линейные пространства. Базисы и размерности                             Гл. 1

При дифференцировании степень (ненулевого) многочлена понижа-
ется на единицу, поэтому последнее сужение можно представить как
гомоморфизм

         0
             : Rn [x] −→ Rn−1 [x]; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ Rn [x],                (1.14a)

который также будет (эпи-, но не моно-)морфизмом.
   Пример 1.11. Останемся еще на некоторое время в сфере дей-
ствия математического анализа и рассмотрим отображение, сопо-
ставляющее функции f, непрерывной на отрезке [a, b] ⊂ R, опре-
деленный интеграл от этой функции по заданному отрезку. Зна-
чение интеграла является действительным числом. Таким образом
получается отображение из линейного пространства C([a, b], R) всех
функций, непрерывных на [a, b], в поле R, рассматриваемое как ли-
нейное пространство над самим собой:
                                          Z       b
     int[a,b] : C([a, b], R) −→ R; f 7→               f (x) dx; f ∈ C([a, b], R).    (1.15)
                                              a


   В силу свойств определенного интеграла, отображение (1.15) яв-
ляется линейным. Очевидна его эпиморфность: для любого числа
c ∈ R можно найти функцию, интеграл от которой по отрезку [a, b]
равен числу c; достаточно взять константу f (x) = c/(b − a).


   1.7.∗ Пример линейного пространства над полем F2 . Дан-
ный пункт не будет использоваться в дальнейшем. Он содержит
некий познавательный материал. Но будущим компьютерщикам,
для которых конечные поля и булевы алгебры являются важными
рабочими инструментами, автор не рекомендовал бы пропускать эту
необязательную вставку.
   Рассмотрим произвольное непустое множество I и множество 2I
всех его подмножеств (включая пустое и само I):

                                2I = { A : A ⊆ I }.                                  (1.16)

  Замечание 1.1. Обратите внимание на экспоненциальное обозна-
чение для множества всех подмножеств. Оно согласуется с обще-
принятым в теории множеств экспоненциальным обозначением Y X

Страницы