Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

26 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Пусть ϕ : V → W является обратимым линейным отображением.
Это значит, что существует отображение ψ : W → V такое, что
ψ ◦ ϕ = ε
V
; ϕ ◦ ψ = ε
W
.
Пусть теперь на векторах u, v ∈ W отображение ψ принимает
значения ψ(u) = x, ψ(v) = y, где x, y — однозначно определенные
векторы из пространства V , такие, что ϕ(x) = u и ϕ(y) = v.
Свойство (1.9) для отображения ψ доказывается так:
ψ(u + v) = ψ(ϕ(x) + ϕ(y)) = ψ(ϕ(x + y)) = x + y = ψ(u) + ψ(v).
Свойство (1.10) проверяется аналогично, но еще проще.
Напомним, а точнее — воспроизведем в новой (абстрактной) ситу-
ации, классификацию линейных отображений по типам. Для случая
арифметических линейных пространств этот материал излагался в
[A
1
], в п. 15.6.
С л о в а р ь м о р ф и з м о в
Линейный гомоморфизм Линейное отображение
линейных пространств:
V
ϕ
−→ W
Линейный мономорфизм Инъективный
линейный гомоморфизм
Линейный эпиморфизм Сюръективный
линейный гомоморфизм
Линейный изоморфизм Обратимый
линейный гомоморфизм;
равносильно:
(моно- и эпи-)морфизм
Линейный эндоморфизм Линейный гомоморфизм
линейного пространства
в себя: V
ϕ
−→ V
Линейный автоморфизм Обратимый
линейный эндоморфизм
Рассмотрим далее несколько примеров линейных отображений.
26       Линейные пространства. Базисы и размерности            Гл. 1

  Пусть ϕ : V → W является обратимым линейным отображением.
Это значит, что существует отображение ψ : W → V такое, что
                        ψ ◦ ϕ = εV ; ϕ ◦ ψ = εW .
  Пусть теперь на векторах u, v ∈ W отображение ψ принимает
значения ψ(u) = x, ψ(v) = y, где x, y — однозначно определенные
векторы из пространства V , такие, что ϕ(x) = u и ϕ(y) = v.
  Свойство (1.9) для отображения ψ доказывается так:
     ψ(u + v) = ψ(ϕ(x) + ϕ(y)) = ψ(ϕ(x + y)) = x + y = ψ(u) + ψ(v).
  Свойство (1.10) проверяется аналогично, но еще проще.
  Напомним, а точнее — воспроизведем в новой (абстрактной) ситу-
ации, классификацию линейных отображений по типам. Для случая
арифметических линейных пространств этот материал излагался в
[A1 ], в п. 15.6.

                    Словарь морфизмов
Линейный гомоморфизм                Линейное отображение
                                    линейных пространств:
                                       ϕ
                                    V −→ W

Линейный мономорфизм                Инъективный
                                    линейный гомоморфизм

Линейный эпиморфизм                 Сюръективный
                                    линейный гомоморфизм

Линейный изоморфизм                 Обратимый
                                    линейный гомоморфизм;
                                    равносильно:
                                    (моно- и эпи-)морфизм

Линейный эндоморфизм                Линейный гомоморфизм
                                    линейного пространства
                                               ϕ
                                    в себя: V −→ V

Линейный автоморфизм                Обратимый
                                    линейный эндоморфизм

     Рассмотрим далее несколько примеров линейных отображений.

Страницы