Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 1 Аксиомы линейного пространства над полем 25
(∀x, y ∈ V ) [ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ]; (1.9)
(∀x ∈ V, λ ∈ P ) [ ϕ(λ ·x) = λ ·ϕ(x) ]. (1.10)
В пособии [A
1
] линейные отображения (для случая арифметиче-
ских пространств) определялись в п. 15.1. Данное выше общее опре-
деление ничем (кроме обозначений для векторов) не отличается от
того, которое приводилось в частном случае, изучавшемся в преды-
дущем семестре.
Остаются справедливыми все основные свойства линейных отоб-
ражений. Например, сохранение нуля ϕ(0) = 0 доказывается так:
равенство 0 + 0 = 0 и свойство (1.9) влекут равенство a + a = a для
вектора a = ϕ(0) ∈ W, после чего остается воспользоваться вспо-
могательным результатом, установленным в начале доказательства
предложения 1.1, и получить a = 0.
Линейные отображения сохраняют также линейные комбинации
векторов:
ϕ(λ
1
a
1
+ ... + λ
k
a
k
) = λ
1
ϕ(a
1
) + ... + λ
k
ϕ(a
k
), (1.11)
где a
i
∈ V ; λ
i
∈ P (i = 1, ... , k).
Сохраняются обозначения и описание для нулевых отображений
o : V → W ; o(x) = 0; x ∈ V,
а также тождественных отображений
ε : V → V ; ε(x) = x; x ∈ V.
В случае необходимости, если требуется явно указать простран-
ство, в обозначение тождественного отображения может включаться
уточняющий индекс: ε
V
.
Без всяких изменений (следует только убрать ненужные черты
над векторами) на абстрактный случай переносятся такие свойства
линейных отображений как линейность композиции двух линейных
отображений, линейность обратного отображения для обратимого
линейного отображения и т. п. (см. [A
1
, пп. 15.1, 15.4]). Чтобы дать
образец для самостоятельных упражнений, восстановим доказатель-
ство последнего из упомянутых фактов.
§1        Аксиомы линейного пространства над полем                    25



                (∀ x, y ∈ V ) [ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ];            (1.9)


                (∀ x ∈ V, λ ∈ P ) [ ϕ(λ · x) = λ · ϕ(x) ].          (1.10)

  В пособии [A1 ] линейные отображения (для случая арифметиче-
ских пространств) определялись в п. 15.1. Данное выше общее опре-
деление ничем (кроме обозначений для векторов) не отличается от
того, которое приводилось в частном случае, изучавшемся в преды-
дущем семестре.
  Остаются справедливыми все основные свойства линейных отоб-
ражений. Например, сохранение нуля ϕ(0) = 0 доказывается так:
равенство 0 + 0 = 0 и свойство (1.9) влекут равенство a + a = a для
вектора a = ϕ(0) ∈ W, после чего остается воспользоваться вспо-
могательным результатом, установленным в начале доказательства
предложения 1.1, и получить a = 0.
  Линейные отображения сохраняют также линейные комбинации
векторов:

           ϕ(λ1 a1 + ... + λk ak ) = λ1 ϕ(a1 ) + ... + λk ϕ(ak ),   (1.11)

где ai ∈ V ; λi ∈ P (i = 1, ... , k).
   Сохраняются обозначения и описание для нулевых отображений

                     o : V → W ; o(x) = 0; x ∈ V,

а также тождественных отображений

                     ε : V → V ; ε(x) = x; x ∈ V.

   В случае необходимости, если требуется явно указать простран-
ство, в обозначение тождественного отображения может включаться
уточняющий индекс: εV .
   Без всяких изменений (следует только убрать ненужные черты
над векторами) на абстрактный случай переносятся такие свойства
линейных отображений как линейность композиции двух линейных
отображений, линейность обратного отображения для обратимого
линейного отображения и т. п. (см. [A1 , пп. 15.1, 15.4]). Чтобы дать
образец для самостоятельных упражнений, восстановим доказатель-
ство последнего из упомянутых фактов.

Страницы