Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 27 стр.

§1         Аксиомы линейного пространства над полем                  27

  Пример 1.8. Как показано в [A1 ], в п. 15.3, всякое линейное отоб-
ражение арифметических линейных пространств ϕ : P n → P m од-
нозначно определяется (m × n)-матрицей A:

                           ϕ(x) = A · x ; x ∈ P n .                (1.12)

  В п. 15.6 изучались условия (моно-, эпи-, изо-)морфности отобра-
жения (1.12).
   Пример 1.9. Описанное в примере 1.1 отображение векториза-
ции (1.4) является линейным изоморфизмом линейного простран-
ства (m×n)-матриц на арифметическое линейное пространство P mn .
    Пример 1.10. Оператор дифференцирования.
    В этом примере в качестве поля P будет фигурировать поле дей-
ствительных чисел R. Рассмотрим пространство гладких функций
C 1 (R, R) (см. пример 1.7) и отображение 0 , сопоставляющее глад-
кой функции f ее производную f 0 [полученная функция (в силу
гладкости исходной) будет непрерывной, т. е. будет принадлежать
пространству C(R, R) ]. Из курса математического анализа известны
свойства производной: производная суммы функций равна сумме
производных; постоянный множитель можно выносить из-под знака
производной. Эти свойства позволяют констатировать, что отобра-
жение
              0
                : C 1 (R, R) −→ C(R, R); f 7→ f 0 ; f ∈ C 1 (R, R) (1.13)

является линейным оператором.
    Оператор дифференцирования удобно рассматривать на линей-
ном подпространстве C ∞ (R, R), которое он переводит само в себя,
т. е. является эндоморфизмом на нем. Возможно и дальнейшее суже-
ние, на линейное подпространство многочленов R[x], и, поскольку
производная многочлена снова является многочленом, то опять по-
лучается эндоморфизм:

             0
                 : R[x] −→ R[x]; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ R[x].   (1.14)

   Эндоморфизм (1.14) является (эпи-, но не моно-)морфизмом. (По-
чему? Проверьте свои познания в математическом анализе и, заодно,
то, насколько вы овладели материалом словаря морфизмов.)
   Можно еще сильнее сузить отображение (1.14), рассмотрев его на
линейном подпространстве Rn [x] многочленов степени не выше n.