Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 24 стр.

24     Линейные пространства. Базисы и размерности             Гл. 1

в пространстве непрерывных функций. Еще более узким подпро-
странством является класс бесконечно гладких (имеющих производ-
ные любого порядка) функций C ∞ (R, R).
  Многочлены с действительными коэффициентами являются не-
прерывными, а также бесконечно дифференцируемыми функциями
на R, поэтому возникает следующая цепочка подпространств:

         R[x] 6 C ∞ (R, R) 6 C 1 (R, R) 6 C(R, R) 6 F(R, R).


   Отметим далее следующее важнейшее свойство линейных подпро-
странств в линейном пространстве (характерное, впрочем, и для по-
добъектов вообще, в других типах алгебраических объектов, напри-
мер, для подгрупп в группе и т. п.)
  Предложение 1.2. Пересечение любого семейства линейных
подпространств в линейном пространстве V само является линей-
ным подпространством в V.
   Доказательство. Пусть (Wι )ι∈I — произвольное (конечное или
бесконечное) семейство линейных подпространств Wι 6 V, индекси-
рованное элементами ι ∈ I некоторого множества I. Пересечение
этого семейства
                  \
             W =    Wι = { x ∈ V : (∀ι ∈ I) [ x ∈ Wι ] }
                  ι∈I

состоит из тех и только тех векторов пространства V, которые при-
надлежат всем подпространствам данного семейства.
   Если x, y ∈ W, то x и y принадлежат каждому из Wι 6 V. Поэтому
любая линейная комбинация λx + µy (λ, µ ∈ P ) принадлежит каж-
дому из Wι и, следовательно, их пересечению W. Значит, W 6 V. ¤

  1.6. Линейные отображения. Пусть V и W — линейные про-
странства над одним и тем же полем P, а ϕ : V → W является
отображением из V в W.
   Определение 1.3. Отображение ϕ называется линейным отоб-
ражением (или линейным оператором, или линейным гомоморфиз-
мом), если оно согласовано с линейными алгебраическими действия-
ми (или, иначе говоря, сохраняет суммы и произведения на скаляр),
т. е. если справедливы следующие два свойства: