Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 22 стр.

22     Линейные пространства. Базисы и размерности             Гл. 1

   Определение 1.2. Непустое подмножество W ⊆ V называется
линейным подпространством в пространстве V, если оно устойчи-
во относительно алгебраических действий над векторами, т. е. если
1) сумма двух векторов, принадлежащих W, снова принадлежит W
и 2) при умножении вектора из W на произвольный скаляр снова
получается вектор из W.
   Для линейных подпространств используется обозначение W 6 V.

   Два условия определения 1.2 можно заменить одним следующим:
для любых векторов x, y ∈ W и любых скаляров λ, µ ∈ P линейная
комбинация λx + µy принадлежит W.
   Очевидно, линейное подпространство W 6 V само является ли-
нейным пространством над P, причем — относительно тех же алгеб-
раических действий, которые были определены на V и сужаются
на W (благодаря его устойчивости).
   Столь же очевидно то, что линейное подпространство в линейном
подпространстве является линейным подпространством и в исходном
линейном пространстве.
   С определением линейных подпространств (преимущественно для
случая, когда данное линейное пространство является арифмети-
ческим) мы давно знакомы и уже активно работали (см. [A1 , пп.
3.2, 8.2 ]).
   Из условий 1 и 2 определения 1.2 (с учетом непустоты подпро-
странства) немедленно следует, что всякое линейное подпростран-
ство W 6 V содержит нулевой вектор (в самом деле, произвольный
вектор x ∈ W можно умножить на нулевой скаляр и результат также
будет принадлежать W ).
   Вместе с какими-либо векторами a1 , ... , ak , принадлежащими под-
простраству W, произвольная линейная комбинация λ1 a1 + ... + λk ak
(λi ∈ P ; i = 1, ..., k) также будет принадлежать W. (Подробнее о
линейных комбинациях см. ниже, в п. 2.1.)
   В любом линейном пространстве V можно указать два триви-
альных подпространства: нулевое подпространство W = O = {0} и
подпространство, совпадающее со всем пространством: W = V.
   С нетривиальными примерами линейных подпространств мы по-
знакомимся в следующей серии примеров.

  Пример 1.5. Два общих способа задания подпространств в ари-
фметических линейных пространствах изучались в [A1 ], в п. 13.1.
Напомним эти способы.