Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

20 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Заметим, что именно в векторизованном (по столбцам либо по
строкам) виде хранятся матрицы в памяти компьютера.
Пример 1.2. Пространство функций со значениями в поле.
Пусть P — произвольное поле, а M — произвольное непустое мно-
жество. Рассмотрим множество всевозможных функций (отображе-
ний), определенных на M и принимающих значения в P :
V = F(M, P ) = {f : M → P }.
Напомним, что функции f, g ∈ F(M, P ) считаются равными, если
они равны поточечно, т. е.
[ f = g ]
def
⇔ [ (∀ x ∈ M) (f(x) = g(x)) ].
Алгебраические действия над функциями также определяются
поточечно:
(f + g)(x)
def
= f(x) + g(x); (λ ·f)(x)
def
= λ ·f(x); f, g ∈ F(M, P ); x ∈ M.
Аксиомы (V
1
) — (V
8
), очевидно, справедливы, поскольку они вы-
полняются в каждой точке x. (Если для вас это не очевидно, то
воспринимайте данное заявление как задание упражнения и чест-
но проверяйте аксиомы, одну за другой, пока очевидность не будет
достигнута.)
Заметим, что арифметическое линейное пространство векторов-
столбцов P
n
(и аналогичное пространство векторов-строк) можно
трактовать как пространство P -значных функций на конечном мно-
жестве M = {1, ..., n}: каждый вектор f ∈ P
n
может рассматривать-
ся как функция (конечная последовательность), сопоставляющая
номеру i ∈ M соответствующую компоненту f
i
∈ P.
Данная конструкция может быть обобщена на бесконечные после-
довательности (векторы-строки) f
t
= (f
i
)
∞
i=1
, рассматриваемые как
функции f : N → P ; i 7→ f
i
на множестве натуральных чисел N. Та-
кие последовательности образуют линейное пространство, обознача-
емое P
∞
, которое уже встречалось нам в [A
1
], в п. 36.1 (см. замечание
36.2) в несколько ином облике, с началом нумерации в нуле, причем
вектор f
t
= (f
i
)
∞
i=0
ассоциировался с формальным степенным рядом
f(x) =
∞
X
k =0
f
k
x
k
= f
0
+ f
1
x + f
2
x
2
+ ... + f
k
x
k
+ ... (1.5)
20      Линейные пространства. Базисы и размерности                       Гл. 1

  Заметим, что именно в векторизованном (по столбцам либо по
строкам) виде хранятся матрицы в памяти компьютера.

  Пример 1.2. Пространство функций со значениями в поле.
  Пусть P — произвольное поле, а M — произвольное непустое мно-
жество. Рассмотрим множество всевозможных функций (отображе-
ний), определенных на M и принимающих значения в P :

                       V = F(M, P ) = {f : M → P }.

  Напомним, что функции f, g ∈ F(M, P ) считаются равными, если
они равны поточечно, т. е.
                              def
                    [ f = g ] ⇔ [ (∀x ∈ M ) (f (x) = g(x)) ].

  Алгебраические действия над функциями также определяются
поточечно:
           def                            def
(f + g)(x) = f (x) + g(x); (λ · f )(x) = λ · f (x); f, g ∈ F(M, P ); x ∈ M.

   Аксиомы (V1 ) — (V8 ), очевидно, справедливы, поскольку они вы-
полняются в каждой точке x. (Если для вас это не очевидно, то
воспринимайте данное заявление как задание упражнения и чест-
но проверяйте аксиомы, одну за другой, пока очевидность не будет
достигнута.)
   Заметим, что арифметическое линейное пространство векторов-
столбцов P n (и аналогичное пространство векторов-строк) можно
трактовать как пространство P -значных функций на конечном мно-
жестве M = {1, ..., n}: каждый вектор f ∈ P n может рассматривать-
ся как функция (конечная последовательность), сопоставляющая
номеру i ∈ M соответствующую компоненту fi ∈ P.
   Данная конструкция может быть обобщена на бесконечные после-
                                    t
довательности (векторы-строки) f = (fi )∞  i=1 , рассматриваемые как
функции f : N → P ; i 7→ fi на множестве натуральных чисел N. Та-
кие последовательности образуют линейное пространство, обознача-
емое P ∞ , которое уже встречалось нам в [A1 ], в п. 36.1 (см. замечание
36.2) в несколько ином облике, с началом нумерации в нуле, причем
         t
вектор f = (fi )∞
                i=0 ассоциировался с формальным степенным рядом
                    ∞
                    X
          f (x) =         fk xk = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fk xk + ...    (1.5)
                    k=0

Страницы