Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

18 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Оговорим теперь тот (наверное, уже привычный для читателей)
факт, что знаки различных умножений (точечки) старательно вы-
писываются только поначалу. Затем о них постепенно забывают,
заменяя на "рядомнаписание" (= juxtaposition).
Приведем два простейших примера линейных пространств:
— тривиальное (нулевое) пространство O = {0} состоит из одного
(нулевого) элемента; алгебраические действия определяются един-
ственно возможным образом: 0 + 0 = 0 и λ ·0 = 0 для любого λ ∈ P ;
все аксиомы превращаются в тавтологии 0 = 0;
— произвольное поле P является линейным пространством над са-
мим собой; аксиомы линейного пространства выполняются, посколь-
ку они сводятся в этом случае к аксиомам поля (например, две акси-
омы дистрибутивности (V
5
) и (V
6
) оказываются идентичными друг
другу и полевой аксиоме 5 ).
Нетривиальные примеры линейных пространств будут приведены
в следующих пунктах.
1.3. Арифметические линейные пространства. Простран-
ства векторов-столбцов
P
n
= {x =
x
1
x
2
...
x
n
: x
i
∈ P, i = 1, ..., n} (1.2)
являлись одним из основных объектов изучения в первой части кур-
са [A
1
]: для случая поля P = R они определялись уже в п. 1.3.
Алгебраические действия в P
n
производятся покомпонентно. Вы-
полнимость аксиом обосновывалась в п. 2.3 пособия [A
1
] (см. замеча-
ние 2.5). В дальнейшем разъяснялся и многократно использовался
следующий принцип: все рассуждения, проводимые над полем дей-
ствительных чисел, но опирающиеся лишь на аксиомы поля, оста-
ются справедливыми над произвольным полем.
В п. 2.2 определялись также арифметические пространства векто-
ров-строк (понимаемых как транспонированные векторы-столбцы):
∗
P
n
= {x
t
= ( x
1
x
2
... x
n
) : x
i
∈ P ; i = 1, ..., n}. (1.3)
Арифметические линейные пространства P
n
являются важней-
шей конкретной реализацией абстрактного понятия линейного про-
странства над полем P. И сейчас самое время объяснить принятую
18     Линейные пространства. Базисы и размерности                  Гл. 1

  Оговорим теперь тот (наверное, уже привычный для читателей)
факт, что знаки различных умножений (точечки) старательно вы-
писываются только поначалу. Затем о них постепенно забывают,
заменяя на "рядомнаписание" (= juxtaposition).
   Приведем два простейших примера линейных пространств:
   — тривиальное (нулевое) пространство O = {0} состоит из одного
(нулевого) элемента; алгебраические действия определяются един-
ственно возможным образом: 0 + 0 = 0 и λ · 0 = 0 для любого λ ∈ P ;
все аксиомы превращаются в тавтологии 0 = 0;
   — произвольное поле P является линейным пространством над са-
мим собой; аксиомы линейного пространства выполняются, посколь-
ку они сводятся в этом случае к аксиомам поля (например, две акси-
омы дистрибутивности (V5 ) и (V6 ) оказываются идентичными друг
другу и полевой аксиоме 5 ).
   Нетривиальные примеры линейных пространств будут приведены
в следующих пунктах.

   1.3. Арифметические линейные пространства. Простран-
ства векторов-столбцов
                          
                          x1
                         x 
              P n = {x =  2  : xi ∈ P, i = 1, ..., n} (1.2)
                          ...
                          xn
являлись одним из основных объектов изучения в первой части кур-
са [A1 ]: для случая поля P = R они определялись уже в п. 1.3.
Алгебраические действия в P n производятся покомпонентно. Вы-
полнимость аксиом обосновывалась в п. 2.3 пособия [A1 ] (см. замеча-
ние 2.5). В дальнейшем разъяснялся и многократно использовался
следующий принцип: все рассуждения, проводимые над полем дей-
ствительных чисел, но опирающиеся лишь на аксиомы поля, оста-
ются справедливыми над произвольным полем.
   В п. 2.2 определялись также арифметические пространства векто-
ров-строк (понимаемых как транспонированные векторы-столбцы):
          ∗
          P n = {xt = ( x1 x2 ... xn ) : xi ∈ P ; i = 1, ..., n}.    (1.3)
  Арифметические линейные пространства P n являются важней-
шей конкретной реализацией абстрактного понятия линейного про-
странства над полем P. И сейчас самое время объяснить принятую

Страницы