Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

16 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
1) сложением векторов (x, y) 7→ x + y;
2) умножением (λ, x) 7→ λ · x векторов на скаляры из поля P ,
в предположении, что эти операции удовлетворяют следующим вось-
ми аксиомам:
(V
1
) (∀x, y, z ∈ V ) [ (x + y) + z = x + (y + z) ];
(V
2
) (∀x, y ∈ V ) [ x + y = y + x ];
(V
3
) (∃0 ∈ V ) (∀x ∈ V ) [ x + 0 = x ];
(V
4
) (∀x ∈ V ) (∃y ∈ V ) [ x + y = 0 ];
(V
5
) (∀x ∈ V ; λ, µ ∈ P ) [ (λ + µ) · x = λ · x + µ · x ];
(V
6
) (∀x, y ∈ V ; λ ∈ P ) [ λ · (x + y) = λ · x + λ · y ];
(V
7
) (∀x ∈ V ; λ, µ ∈ P ) [ (λ · µ) · x = λ · (µ · x) ];
(V
8
) (∀x ∈ V ) [ 1 · x = x ].
Прокомментируем аксиомы (V
1
) — (V
8
) , заметив прежде всего,
что понятие линейного пространства и указанные аксиомы (в менее
строгом представлении) уже встречались в [А
1
], в пп. 1.1, 2.2, 36.1
и др. [сравните, в частности, эти аксиомы с формулами (i) — (viii)].
Первые четыре из аксиом линейного пространства фактически
совпадают с соответствующими аксиомами поля 1 — 4 .
Используя понятие группы, также (на описательном уровне) зна-
комое нам из [А
1
] (см. §§ 14 — 16), можно сказать, что как поле, так
и всякое линейное пространство над полем являются (коммутатив-
ными) группами по сложению.
Поэтому общими для полей и для линейных пространств будут
все следствия, выводимые из четырех аксиом сложения.
В частности, существует лишь один нулевой вектор. В самом деле,
если как 0, так и 0
0
удовлетворяют (V
3
) , то 0 = 0
0
, в чем убеждает
следующая простая выкладка:
0
(V
3
)
=== 0
0
+ 0
(V
2
)
=== 0 + 0
0
(V
3
)
=== 0
0
.
Далее, вектор, противоположный данному вектору x, существую-
щий согласно (V
4
) , также определен однозначно. В самом деле, если
этому условию удовлетворяют два вектора, y и y
0
, то
y
(V
3
)
=== y + 0
(V
4
)
=== y + (x + y
0
)
(V
1
)
=== (y + x) + y
0
(V
4
)
=== 0 + y
0
(V
3
)
=== y
0
.
Однозначность определения противоположного вектора мотиви-
рует фиксацию для него обозначения: y = −x.
Седьмая и восьмая аксиомы относятся к операции умножения век-
торов на скаляры, а пятая и шестая (два дистрибутивных закона) —
16        Линейные пространства. Базисы и размерности                      Гл. 1

   1) сложением векторов (x, y) 7→ x + y;
   2) умножением (λ, x) 7→ λ · x векторов на скаляры из поля P ,
в предположении, что эти операции удовлетворяют следующим вось-
ми аксиомам:
   (V1 ) (∀ x, y, z ∈ V ) [ (x + y) + z = x + (y + z) ];
   (V2 ) (∀ x, y ∈ V ) [ x + y = y + x ];
   (V3 ) (∃ 0 ∈ V ) (∀ x ∈ V ) [ x + 0 = x ];
   (V4 ) (∀ x ∈ V ) (∃ y ∈ V ) [ x + y = 0 ];
   (V5 ) (∀ x ∈ V ; λ, µ ∈ P ) [ (λ + µ) · x = λ · x + µ · x ];
   (V6 ) (∀ x, y ∈ V ; λ ∈ P ) [ λ · (x + y) = λ · x + λ · y ];
   (V7 ) (∀ x ∈ V ; λ, µ ∈ P ) [ (λ · µ) · x = λ · (µ · x) ];
   (V8 ) (∀ x ∈ V ) [ 1 · x = x ].
   Прокомментируем аксиомы (V1 ) — (V8 ) , заметив прежде всего,
что понятие линейного пространства и указанные аксиомы (в менее
строгом представлении) уже встречались в [А1 ], в пп. 1.1, 2.2, 36.1
и др. [сравните, в частности, эти аксиомы с формулами (i) — (viii)].
   Первые четыре из аксиом линейного пространства фактически
совпадают с соответствующими аксиомами поля 1 — 4 .
   Используя понятие группы, также (на описательном уровне) зна-
комое нам из [А1 ] (см. §§ 14 — 16), можно сказать, что как поле, так
и всякое линейное пространство над полем являются (коммутатив-
ными) группами по сложению.
   Поэтому общими для полей и для линейных пространств будут
все следствия, выводимые из четырех аксиом сложения.
   В частности, существует лишь один нулевой вектор. В самом деле,
если как 0, так и 00 удовлетворяют (V3 ) , то 0 = 00 , в чем убеждает
следующая простая выкладка:
                            (V3 )      (V2 )      (V3 )
                          0 === 00 + 0 === 0 + 00 === 00 .

   Далее, вектор, противоположный данному вектору x, существую-
щий согласно (V4 ) , также определен однозначно. В самом деле, если
этому условию удовлетворяют два вектора, y и y 0 , то
       (V3 )      (V4 )                (V1 )              (V4 )    (V3 )
     y === y + 0 === y + (x + y 0 ) === (y + x) + y 0 === 0 + y 0 === y 0 .

  Однозначность определения противоположного вектора мотиви-
рует фиксацию для него обозначения: y = −x.
  Седьмая и восьмая аксиомы относятся к операции умножения век-
торов на скаляры, а пятая и шестая (два дистрибутивных закона) —

Страницы