Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 17 стр.

§1        Аксиомы линейного пространства над полем              17

увязывают два рассматриваемых алгебраических действия между
собой. Отметим еще одно простое следствие из аксиом:
                     (∀ x ∈ V ) [ (−1) · x = −x ].
  Попробуйте самостоятельно доказать это утверждение. В учебни-
ках и сборниках задач вам встретятся и некоторые другие следствия.
Одно из них мы выделим как
  Предложение 1.1. Произведение скаляра λ ∈ P на вектор
x ∈ V является нулевым вектором тогда и только тогда, когда хотя
бы один из сомножителей обращается в нуль, т. е.
                  [ λ · x = 0 ] ⇔ [ λ = 0 ] ∨ [ x = 0 ].       (1.1)

    Доказательство. 1. Докажем предварительно следующий вспо-
могательный факт: равенство a + a = a в пространстве V влечет
a = 0. В самом деле, добавляя к обеим частям данного равенства
элемент b = −a, мы получим (a + a) + b = a + b, или, с использова-
нием ассоциативности сложения, a + (a + b) = 0 и, далее, a + 0 = 0,
а, значит, и a = 0.
    1.1. Рассмотрим теперь случай λ = 0 и установим равенство
0 · x = 0. Для этого достаточно будет доказать, что вектор a = 0 · x
удовлетворяет условию a + a = a:
                               (V5 )
                 0 · x + 0 · x === (0 + 0) · x = 0 · x.
  1.2. Совершенно аналогично рассматривается второй случай:
x = 0. (Вас не смущает участие в формулах двух различных нулей:
скалярного и векторного?)
  После того, как вы убедитесь в справедливости равенства λ·0 = 0,
можно будет констатировать, что в одну сторону (справа налево)
утверждение (1.1) доказано.
  2. Доказательство в другую сторону проводится так. Предполо-
жим, что λ · x = 0, а λ 6= 0. Тогда, в силу аксиомы 9 , в поле P
существует обратный скаляр λ−1 , на который можно будет умно-
жить (слева) данное равенство. Получим:

                        λ−1 · (λ · x) = λ−1 · 0.
  Применяя в левой части последнего равенства аксиомы (V7 ) и (V8 )
и пользуясь (в правой части) полученным выше результатом (см.
случай 1.2), приходим к равенству x = 0. ¤