Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 21 стр.

§1        Аксиомы линейного пространства над полем                      21

   Напомним обозначение P [[x]] для линейного пространства всех
степенных рядов вида (1.5). При сложении степенных рядов скла-
дываются все соответствующие коэффициенты; при умножении на
скаляр степенного ряда все его коэффициенты умножаются на этот
скаляр.
   Пример 1.3. Пространство многочленов.
   Многочлены можно определять (см. [A1 , п. 36.1]) как финитные
степенные ряды вида (1.5). Множество P [x] многочленов над по-
лем P является подмножеством в пространстве P [[x]]. Для каждого
f (x) ∈ P [x] (кроме нулевого многочлена) определено неотрицатель-
ное целое число n = deg(f (x)) — степень многочлена; она является
номером последнего ненулевого коэффициента в формуле (1.5); мно-
гочлен представляется (конечной) суммой

                     n
                     X
           f (x) =         fk xk = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fn xn .   (1.6)
                     k=0


  Множество многочленов само является линейным пространством
над P. (Это следует из того, что алгебраческие действия над финит-
ными степенными рядами снова приводят к финитным рядам; см. в
следующем пункте понятие линейного подпространства.)
   Пример 1.4. Расширение поля как линейное пространство.
   Допустим, поле P содержится (в качестве подполя) в более широ-
ком поле L. (В этом случае говорят также, что L является расшире-
нием P ). Тогда L можно рассматривать как линейное пространство
над P. В самом деле, произведение λ · x (λ ∈ P ; x ∈ L) определено,
поскольку оно определено в L, а все аксиомы линейного простран-
ства над P выполняются, т. к. сводятся к соответствующим полевым
аксиомам в L.
   В частности, поле действительных чисел R является расширением
поля рациональных чисел Q и поэтому может рассматриваться как
линейное пространство над Q.
   Аналогично, поле комплексных чисел C является линейным про-
странством над R. Кстати, именно так поле C вводилось в [A1 ] (см.
векторную модель в п. 31.3).


  1.5. Линейные подпространства. Пусть V — линейное про-
странство над полем P.