Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 23 стр.

§1          Аксиомы линейного пространства над полем            23

  Всякая (m × n)-матрица A с элементами из P определяет два ли-
нейных подпространства:
  1) нуль-пространство (ядро) матрицы A:

                  L0A = { x ∈ Rn : A · x = 0 } 6 P n ;        (1.7)

     2) образ (линейную оболочку столбцов) матрицы A:

                     RA = h a1 , a2 , ... , an i 6 P m .      (1.8)


   Пример 1.6. В примере 1.3 пространство многочленов P [x] изна-
чально определялось как линейное подпространство в пространстве
степенных рядов P [[x]].
   Зафиксировав неотрицательное целое число n, можно рассмот-
реть подмножество Pn [x] тех многочленов над P, степени которых
не превышают n. Свойства степени обеспечивают устойчивость это-
го подмножества относительно линейных алгебраических операций.
Таким образом, Pn [x] 6 P [x].
   Пример 1.7. Если поле P является бесконечным, то (см. [A1 , пп.
39.1, 39.4]) многочлены можно рассматривать как полиномиальные
функции и пространство многочленов P [x] — как линейное подпро-
странство в пространстве функций F(P, P ).
   Числовые поля R и C несут, помимо алгебраической, еще и дру-
гие математические структуры, связанные с понятием предельного
перехода. Эти структуры изучаются в курсах математического ана-
лиза и топологии. С их помощью вводятся в рассмотрение классы
непрерывных и гладких функций.
   Класс C(R, R) непрерывных функций (заданных на всей действи-
тельной оси и принимающих действительные значения) вам хорошо
знаком, и мы не будем здесь его описывать. Сумма непрерывных
функций снова есть непрерывная функция, при умножении непре-
рывной функции на скаляр (константу) непрерывность также со-
храняется. Поэтому можно констатировать, что множество C(R, R)
является линейным подпространством в пространстве всех функций
F(R, R). Класс гладких (точнее: 1-гладких) функций C 1 (R, R) опре-
деляется как множество всех непрерывно дифференцируемых (име-
ющих непрерывную производную на R) функций. Свойства произ-
водной и свойства дифференцируемых функций немедленно влекут
тот факт, что гладкие функции образуют линейное подпространство