Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 31 стр.

§1        Аксиомы линейного пространства над полем              31

   Замечание 1.2. Сложению (объединению) множеств в математи-
ческой логике соответствует дизъюнкция (∨) высказываний, выража-
емая логической связкой или. Элемент принадлежит объединению
двух множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит или пер-
вому множеству, или второму (причем не исключается его принад-
лежность обоим множествам). Это выражают фразой: "логическое
или не является разделительным".
   Умножению (пересечению) соответствует конъюнкция (∧), выра-
жаемая связкой и. Элемент принадлежит пересечению тогда и толь-
ко тогда, когда он принадлежит и первому множеству, и второму.
   Дополнению множества отвечает отрицание высказывания, вы-
ражаемое частицей не. Элемент принадлежит дополнению некото-
рого подмножества (в заданном основном множестве) тогда и только
тогда, когда он не принадлежит этому подмножеству.
   Ниже мы введем в рассмотрение "новое" сложение подмножеств,
соответствующее разделительному или. Будем обозначать это дей-
ствие символом ⊕. Элемент считается принадлежащим сумме A ⊕ B
двух подмножеств, если он принадлежит одному и только одному из
них. (В этом плане автору трудно удержаться от бытовой аналогии
с так называемой женской логикой: "или я, или она!" Вариант "или
мы обе вместе" не рассматривается.)
   Существует несколько равносильных формул, выражающих раз-
делительную сумму подмножеств. Приведем две из них:

             A ⊕ B = A · B + A · B = (A + B) · (A · B).      (1.20)

   Очевидно, что если данные подмножества A и B не пересекаются
(т. е. A · B = O), то их разделительная сумма совпадает с обычной:
A ⊕ B = A + B.
   Упомянем, что разделительная сумма часто именуется симмет-
рической разностью, обозначается символом ∆ и выражается фор-
мулой
                      A ∆ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).            (1.20a)
  Диаграмму Венна для A ⊕ B см. на рис. 1.1 в прил. 2.
  Докажем, что разделительное сложение определяет в множестве
V = 2I структуру коммутативной группы, т. е. для этого действия
справедливы первые четыре аксиомы линейного пространства.
  Коммутативность (V2 ) и свойство нулевого элемента (V3 ) совер-
шенно очевидны. Легко (и неожиданно) решается проблема с проти-
воположными элементами: элементом, противоположным к A ∈ V,