Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

34 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
В настоящем параграфе нам предстоит "переизложить" на новом
(абстрактном) уровне теорию систем векторов и их линейных оболо-
чек (см. в частном случае арифметических пространств пп. 8.1, 8.2
пособия [A
1
]).
Определение 2.1. Конечной системой векторов (с.в.) в про-
странстве V называется конечный упорядоченный набор (список, ко-
нечная последовательность)
A = [ a
1
, a
2
, ... , a
k
], (2.1)
векторов a
i
∈ V (i = 1, ... , k), где k ∈ N. (Рассматривается также
пустая система векторов ∅ = [ ].)
Термин подсистема понимается как подпоследовательность (под-
список, с сохранением порядка).
Определение 2.2. Линейной комбинацией (непустой) с.в. (2.1)
называется выражение вида
P
k
i=1
λ
i
a
i
, где λ
i
∈ P (i = 1, ..., k).
Если в этом выражении произвести действия (умножения на ска-
ляры и сложение), то получится вектор
a =
k
X
i=1
λ
i
a
i
, (2.2)
который называется значением линейной комбинации.
Говорят таже, что вектор a линейно выражается через векторы,
входящие в A.
Значение линейной комбинации определено корректно в силу ак-
сиом (V
1
) — (V
8
) , однако различные линейные комбинации могут
иметь одинаковые значения.
Определение 2.3. Линейной оболочкой (непустой) конечной с.в.
(2.1) называется подмножество hAi ⊆ V, состоящее из значений все-
возможных линейных комбинаций векторов этой системы:
hAi =
(
k
X
i=1
λ
i
a
i
: λ
i
∈ P ; i = 1, ..., k
)
=
=
(
a ∈ V : [ ∃λ
i
∈ P (i = 1, ..., k) ] [ a =
k
X
i=1
λ
i
a
i
]
)
.
(2.3)
34     Линейные пространства. Базисы и размерности                                          Гл. 1

В настоящем параграфе нам предстоит "переизложить" на новом
(абстрактном) уровне теорию систем векторов и их линейных оболо-
чек (см. в частном случае арифметических пространств пп. 8.1, 8.2
пособия [A1 ]).
  Определение 2.1. Конечной системой векторов (с.в.) в про-
странстве V называется конечный упорядоченный набор (список, ко-
нечная последовательность)

                                 A = [ a1 , a2 , ... , ak ],                                 (2.1)

векторов ai ∈ V (i = 1, ... , k), где k ∈ N. (Рассматривается также
пустая система векторов ∅ = [ ].)
  Термин подсистема понимается как подпоследовательность (под-
список, с сохранением порядка).
  Определение 2.2. Линейной комбинацией (непустой) с.в. (2.1)
                           Pk
называется выражение вида i=1 λi ai , где λi ∈ P (i = 1, ..., k).
  Если в этом выражении произвести действия (умножения на ска-
ляры и сложение), то получится вектор

                                           k
                                           X
                                     a=          λi ai ,                                     (2.2)
                                           i=1

который называется значением линейной комбинации.
  Говорят таже, что вектор a линейно выражается через векторы,
входящие в A.
  Значение линейной комбинации определено корректно в силу ак-
сиом (V1 ) — (V8 ) , однако различные линейные комбинации могут
иметь одинаковые значения.
   Определение 2.3. Линейной оболочкой (непустой) конечной с.в.
(2.1) называется подмножество hAi ⊆ V, состоящее из значений все-
возможных линейных комбинаций векторов этой системы:
             (   k
                                                           )
                 X
     hAi =             λi ai : λi ∈ P ; i = 1, ..., k          =
                 i=1
             (                                                                      )        (2.3)
                                                                   k
                                                                   X
        =        a ∈ V : [ ∃λi ∈ P (i = 1, ..., k) ] [ a =               λi a i ]       .
                                                                   i=1

Страницы