Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 36 стр.

36     Линейные пространства. Базисы и размерности            Гл. 1

  Всякая система векторов из W , содержащая с.в., порождающую
подпространство W, сама является порождающей для W. (В самом
деле, если вектор a ∈ W линейно выражается через некоторую с.в.,
то он будет линейно выражаться и через более широкую систему.)
Порождающая с.в. останется таковой, если из нее выбросить повтор-
но встречающиеся, а также нулевые векторы.
  Примеры порождающих с.в. для арифметических линейных про-
странств и их подпространств вам следует "подгрузить" в вашу опе-
ративную память из пособия [A1 ]. Здесь мы приведем только один
простой пример. Он лишь на первый взгляд является новым; на
самом деле, как мы вскоре убедимся, он сводится к разобранным в
прошлом семестре.
  Пример 2.1. Рассмотрим в пространстве V = Pn [x] (см. при-
мер 1.6) с.в.
                   Bn = [ 1, x, x2 , ... , xn ].        (2.6)
  Всякий многочлен степени не выше n представляется в виде ли-
нейной комбинации одночленов, входящих в (2.6), с коэффициента-
ми из поля P. Следовательно B порождает V.

   2.2.∗ Линейные оболочки подмножеств в линейных про-
странствах. В рабочих (вычислительных) вопросах линейной ал-
гебры линейные пространства и их подпространства задаются как
линейные оболочки конечных систем векторов, причем последние
понимаются как списки. Если каким-либо образом переставить эле-
менты в списке, то получится новый список. Однако линейная обо-
лочка при этом не изменится.
   В связи с этим (в основном, в теоретических вопросах) приме-
няется иной подход (кратко о нем говорилось в замечании 8.5 в
[A1 ]). Вместо конечных списков рассматриваются конечные множе-
ства, которые не содержат повторяющихся элементов и не наделены
каким-либо порядком.
   При реальной записи множества (попарно различных) векторов

                        A = {a1 , a2 , ... , ak }             (2.1a)

[ср. со списком (2.1)] какой-то порядок (нумерация) все же использу-
ется, но при изменении этого порядка (перестановке векторов) мно-
жество считается неизменным.
   Мы можем говорить о линейных комбинациях векторов из под-
множества (2.1a), о линейной оболочке hAi для этого подмножества.