Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 38 стр.

38     Линейные пространства. Базисы и размерности         Гл. 1

   Подмножество A содержится в подпространстве hAi (в самом де-
ле, каждый вектор a ∈ A можно представить в виде линейной ком-
бинации a = 1 · a.)
   В силу того, что W0 является наименьшим из подпространств,
содержащих A, получается второе включение: W0 6 hAi.
   Таким образом, доказано равенство W0 = hAi и предложение в
целом. ¤

  Замечание 2.2. Из установленного выше факта с очевидностью
вытекают следующие утверждения:
  1) подмножество в линейном пространстве тогда и только тогда
является линейным подпространством, когда оно совпадает со своей
линейной оболочкой;
  2) включение подмножеств A ⊆ B влечет включение их линейных
оболочек hAi 6 hBi;
  3) для любого A ⊆ V справедливо равенство

                          hhAii = hAi.                      (2.9)


   Пример 2.2. Рассмотрим в пространстве многочленов V = P [x]
(бесконечное) множество

                       B = { 1, x , x2 , ... }             (2.10)

всех одночленов. Из определения 2.3а непосредственно следует, что
hBi = V. Другими словами, множество одночленов (2.10) порождает
пространство многочленов.


  2.3. Конечномерные и бесконечномерные линейные про-
странства
   Определение 2.5. Линейное пространство называется конечно-
мерным, если для него существует конечная порождающая с.в., и
бесконечномерным — в противоположном случае.
  Вы, наверное, уже привыкли к необходимости "разъяснения в по-
зитивных терминах", т. е. без использования отрицания (выражае-
мого частицей не), свойств, противоположных к определяемым. Как
раскрыть в подобных терминах свойство бесконечномерности линей-
ного пространства?