Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

50 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
В частности, линейно независимыми будут бесконечные множе-
ства
— показательных функций
A = {e
λ
1
x
, e
λ
2
x
, ... , e
λ
k
x
, ... }, (3.11a)
с попарно различными (действительными или комплексными) коэф-
фициентами λ
k
;
— степенных функций
A = {x
α
1
, x
α
2
, ... , x
α
k
, ... }, (3.18a)
с попарно различными действительными показателями α
k
.
Тот же вывод будет справедлив для бесконечного множества три-
гонометрических функций
T = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos kx, sin kx, ... }. (3.13a)
Последний факт служит краеугольным камнем теории рядов Фу-
рье. (Вспомните об этом в четвертом семестре изучения математи-
ческого анализа.)
§
§
§ 4. Базисы в линейных пространствах;
четыре способа характеризации;
теорема существования
4.1. Определение базиса в линейном пространстве. Перед
изучением данного параграфа полезно вернуться к § 10 пособия [A
1
],
где понятие базиса определялось для линейных подпространств в
арифметических линейных пространствах. Здесь будет дано общее
определение. Пусть V — линейное пространство над полем P.
Определение 4.1. Конечная с.в.
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] (4.1)
в пространстве V называется (конечным) базисом V, если она
1) порождает V, т. е. hBi = V ;
2) является линейно независимой.
50       Линейные пространства. Базисы и размерности                        Гл. 1

   В частности, линейно независимыми будут бесконечные множе-
ства
   — показательных функций

                        A = { eλ1 x , eλ2 x , ... , eλk x , ... },         (3.11a)

с попарно различными (действительными или комплексными) коэф-
фициентами λk ;
   — степенных функций

                         A = { xα1 , xα2 , ... , xαk , ... },              (3.18a)

с попарно различными действительными показателями αk .
   Тот же вывод будет справедлив для бесконечного множества три-
гонометрических функций

     T = { 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos kx, sin kx, ... }.   (3.13a)

  Последний факт служит краеугольным камнем теории рядов Фу-
рье. (Вспомните об этом в четвертом семестре изучения математи-
ческого анализа.)



         § 4. Базисы в линейных пространствах;
               четыре способа характеризации;
                   теорема существования

   4.1. Определение базиса в линейном пространстве. Перед
изучением данного параграфа полезно вернуться к § 10 пособия [A1 ],
где понятие базиса определялось для линейных подпространств в
арифметических линейных пространствах. Здесь будет дано общее
определение. Пусть V — линейное пространство над полем P.
     Определение 4.1. Конечная с.в.

                               B = [ b1 , b2 , ... , bn ]                    (4.1)

в пространстве V называется (конечным) базисом V, если она
   1) порождает V, т. е. hBi = V ;
   2) является линейно независимой.

Страницы