Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 53 стр.

§4              Базисы в линейных пространствах                   53

   Пусть с.в. B порождает V и обладает свойством единственности
разложения. Первое означает, что всякий вектор x ∈ V разлагает-
ся по B, т. е. представляется в виде линейной комбинации (4.2), а
второе — что коэффициенты такого разложения определены одно-
значно. Докажем, что с.в. B является максимальной линейно неза-
висимой.
   2.1. Линейная независимость B следует из того, что нулевой
вектор 0 ∈ V должен иметь единственное разложение по B. Все-
гда имеется тривиальное разложение, с нулевыми коэффициентами:
0 = 0 · b1 + ... + 0 · bn . Поэтому наличие какого-либо разложения
                             n
                             X
                                   λi bi = 0                    (4.2h)
                             i=1


влечет равенство нулю всех коэффициентов: λi = 0 (i = 1, ..., n).
   2.2. Докажем максимальность линейно независимой с.в. B. Пусть
с.в. B 0 строго содержит B, т. е. B является подсистемой в B0 и су-
ществует вектор b, входящий в B 0 , но не входящий в B.
   Рассмотрим с.в. [B, b], полученную присоединением к B вектора b.
(Напомним, что порядок векторов не важен. Можно, например, по-
ставить добавочный вектор b на то место, которое ему предписывает-
ся порядком в B 0 .) По предположению B является порождающей с.в.
Следовательно, b линейно выражается через B. Отсюда, по второму
утверждению предложения 3.1, следует линейная зависимость [B, b].
А поскольку эта с.в. является подсистемой в B0 , то, по первому утвер-
ждению того же предложения, система B 0 также линейно зависима.
   3. Докажем импликацию (3) ⇒ (4).
   Пусть с.в. B является максимальной линейно независимой. Дока-
жем, что она является минимальной порождающей.
   3.1. То, что B порождает V доказывается так. Пусть x — про-
извольный вектор пространства V. Если этот вектор входит в B, то
он входит в линейную оболочку hBi. Если же x не входит в B, то
добавим его к этой системе и получим с.в. [B, x], строго содержа-
щую B. В силу предположения о максимальности B среди линейно
независимых систем, новая с.в. является линейно зависимой. Тре-
тье утверждение предложения 3.1 позволяет отсюда заключить, что
x ∈ hBi. Таким образом, доказано, что hBi = V.
   3.2. Докажем минимальность B среди порождающих с.в. Пусть
с.в. B 0 строго содержится в B. Возьмем произвольный вектор b,
входящий в B, но не в B0 . Если бы B 0 была порождающей с.в., то b