Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 56 стр.

56     Линейные пространства. Базисы и размерности                     Гл. 1

где единица стоит на k-м месте (k = 0, 1, 2, ...).
   Это же пространство предстает в другом (изоморфном) облике
пространства многочленов P [x] (см. примеры 1.3 и 2.2).
   На "языке многочленов" базис пространства составят одночлены
 k
x (k = 0, 1, 2, ...).

   Можно доказать, что в любом линейном пространстве существует
базис Гамеля.
   В конечномерном случае понятие базиса Гамеля совпадает с обыч-
ным понятием (конечного) базиса. В бесконечномерном случае для
доказательства теоремы существования (бесконечного) базиса Гаме-
ля применяется самая таинственная (и самая скандальная) из акси-
ом теории множеств — аксиома выбора. (Часто она фигурирует в
равносильной форме так называемой леммы Цорна.)
   Характерной особенностью доказательств, основанных на аксио-
ме выбора, является их категорическая неконструктивность: они
не позволят построить алгоритм, реально определяющий (вычисля-
ющий) те математические объекты, существование которых уста-
навливается в ходе доказательства.
   Несколько подробнее с затронутыми здесь вопросами можно по-
знакомиться по учебнику [2]. Если же автору удалось заинтриговать
вас до такой степени, что вы готовы читать внепрограммную литера-
туру, то можно порекомендовать следующее историко-математичес-
кое сочинение: Медведев Ф. А. Ранняя история аксиомы выбора. М.:
Наука, 1982.

   4.5.∗ Понятие о топологических базисах. Чтобы дать пер-
вичное представление о бесконечномерной линейной алгебре, приве-
дем (нестрогое) описание понятия топологического базиса в беско-
нечномерном линейном пространстве.
   В функциональном анализе рассматриваются, как правило, такие
линейные пространства V (над полем P = R или C), в которых
каким-либо образом введено понятие предельного перехода.
   С помощью пределов могут быть определены значения некоторых
бесконечных сумм.
   Например, для бесконечного подмножества векторов

            B = { b1 , b2 , ... , bk , ... }; bk ∈ V (k = 1, 2, ...)    (4.3)

значение бесконечной линейной комбинации (с коэффициентами λk