Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 64 стр.

64     Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

  Таким образом, свойство (5.7) допускает запись в более сильной
форме свойства строгой монотонности:

                 [ W < V ] ⇒ [ dim(W ) < dim(V ) ].          (5.7a)

  Обе части первого утверждения доказаны. Со вторым утвержде-
нием разберитесь самостоятельно (от противного) ¤



§ 6. Основная теорема о линейных отображениях.
               Теорема об изоморфизме.
              Координатный изоморфизм

   6.1. Основная теорема о линейных отображениях к.л.п.
Характерной особенностью математики является то, что вместе с
объектами изучаются отображения (морфизмы) этих объектов. На-
пример, изучение линейных пространств неинтересно (и практиче-
ски невозможно) без изучения линейных отображений.
   При изучении линейных гомоморфизмов к.л.п. проявляется клю-
чевая роль, которую в линейной алгебре играют базисы. Выясняет-
ся, что линейное отображение

                             ϕ : V −→ W                       (6.1)

из к.л.п. V (над полем P ) в произвольное линейное пространство W
(над тем же полем) однозначно определяется своими значениями на
базисных векторах пространства V.
   При формулировке следующей теоремы нам понадобится обозна-
чение для образа с.в. под действием линейного отображения (6.1).
Если
                         A = [ a1 , a2 , ... , ak ]           (6.2)

— произвольная с.в. в пространстве V , то ее образ под действием ϕ
определяется как система (из такого же количества векторов)

                  ϕ(A) = [ ϕ(a1 ), ϕ(a2 ), ... , ϕ(ak ) ]     (6.3)

в пространстве W. Загляните также (если нужно) в словарь морфиз-
мов в п. 1.6.