Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 6 Основная теорема о линейных отображениях 67
очевидно: если в качестве вектора x взять базисный вектор b
j
, то
в разложении (6.7) все коэффициенты x
i
будут равны нулю, кроме
одного, x
j
= 1. А в формуле (6.8) фигурируют такие же коэффици-
енты, но — перед векторами c
i
. Поэтому получается: ϕ(b
j
) = c
j
.
2. Теперь, в дополнение к предположениям первого пункта, пред-
положим, что с.в. C линейно независима. Докажем, что тогда отоб-
ражение, построенное по формуле (6.8), является мономорфизмом,
т. е. докажем инъективность этого отображения.
Пусть на векторах x, y ∈ V отображение ϕ принимает одинаковые
значения: ϕ(x) = ϕ(y), или, в силу определения (6.8),
n
X
i=1
x
i
c
i
=
n
X
i=1
y
i
c
i
. (6.11)
Из равенства (6.11) следует равенство нулю значения линейной
комбинации:
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)c
i
= 0, (6.12)
что, с учетом линейной независимости C, влечет равенство нулю всех
коэффициентов этой комбинации. А значит, x
i
= y
i
для любого но-
мера i = 1, ..., n. Следовательно, x = y, и инъективность ϕ доказана.
3. В этом и следующем пунктах теоремы конечномерность W
необходима: в бесконечномерных пространствах не существует ко-
нечных порождающих с.в. и базисов.
Предположим, что C порождает W, и докажем эпиморфность
(т. е. сюръективность) ϕ. Возьмем произвольный вектор w ∈ W
и разложим его по порождающей с.в. C:
w =
n
X
i=1
µ
i
c
i
; µ
i
∈ P (i = 1, ..., n).
Надо найти такой вектор x ∈ V, что ϕ(x) = w. Ясно, что для этого
годится вектор
x =
n
X
i=1
µ
i
b
i
.
Сюръективность ϕ доказана.
4. Четвертое утверждение теоремы немедленно следует из второ-
го и третьего. ¤
§6        Основная теорема о линейных отображениях               67

очевидно: если в качестве вектора x взять базисный вектор bj , то
в разложении (6.7) все коэффициенты xi будут равны нулю, кроме
одного, xj = 1. А в формуле (6.8) фигурируют такие же коэффици-
енты, но — перед векторами ci . Поэтому получается: ϕ(bj ) = cj .
   2. Теперь, в дополнение к предположениям первого пункта, пред-
положим, что с.в. C линейно независима. Докажем, что тогда отоб-
ражение, построенное по формуле (6.8), является мономорфизмом,
т. е. докажем инъективность этого отображения.
   Пусть на векторах x, y ∈ V отображение ϕ принимает одинаковые
значения: ϕ(x) = ϕ(y), или, в силу определения (6.8),
                            n
                            X               n
                                            X
                                  xi ci =         yi ci .      (6.11)
                            i=1             i=1

  Из равенства (6.11) следует равенство нулю значения линейной
комбинации:
                        Xn
                           (xi − yi )ci = 0,             (6.12)
                            i=1

что, с учетом линейной независимости C, влечет равенство нулю всех
коэффициентов этой комбинации. А значит, xi = yi для любого но-
мера i = 1, ..., n. Следовательно, x = y, и инъективность ϕ доказана.
   3. В этом и следующем пунктах теоремы конечномерность W
необходима: в бесконечномерных пространствах не существует ко-
нечных порождающих с.в. и базисов.
   Предположим, что C порождает W, и докажем эпиморфность
(т. е. сюръективность) ϕ. Возьмем произвольный вектор w ∈ W
и разложим его по порождающей с.в. C:
                      n
                      X
                 w=         µi ci ; µi ∈ P (i = 1, ..., n).
                      i=1

   Надо найти такой вектор x ∈ V, что ϕ(x) = w. Ясно, что для этого
годится вектор
                               Xn
                           x=      µi bi .
                                      i=1

   Сюръективность ϕ доказана.
   4. Четвертое утверждение теоремы немедленно следует из второ-
го и третьего. ¤

Страницы