Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 6 Основная теорема о линейных отображениях 71
По построению, β(B) = E
n
, т. е.
β(b
i
) = e
i
; i = 1, ..., n. (6.20)
Следовательно,
β(x) = β(
n
X
i=1
x
i
b
i
) =
n
X
i=1
x
i
β(b
i
) =
n
X
i=1
x
i
e
i
=
x
1
x
2
···
x
n
= x,
что совпадает с (6.19). ¤
В дальнейшем нам понадобится также изоморфизм
β
−1
: P
n
−→ V ; β
−1
(x) = x =
n
X
i=1
x
i
b
i
; x ∈ P
n
, (6.21)
обратный к (6.20).
Замечание 6.1. Выбор базиса в абстрактном к.л.п. есть дело "слу-
чайное" (см. пример 4.1); никакого предпочтительного выбора нет.
Поэтому и изоморфизм (6.18), определяемый по базису в данном
пространстве, является случайным.
При замене некоторого базиса B на новый базис B
0
изоморфизм β
заменяется на другой изоморфизм β
0
. (О связи этих изоморфизмов
см. ниже, в п. 7.3.)
Случайные изоморфизмы мало ценятся в теории. Б´ольшую тео-
ретическую ценность представляют так называемые канонические
изоморфизмы, задание которых не зависит ни от каких случайных
факторов (типа выбора базисов).
Заметим однако, что при описании алгоритмов линейной алгебры
и организации практических вычислений в линейных пространствах
неизбежно приходится фиксировать некоторый базис в к.л.п., фак-
тически заменяя задачу, решаемую в этом пространстве, на анало-
гичную задачу в арифметическом линейном пространстве.
Все изучаемые далее алгоритмы работают именно (и исключи-
тельно) с арифметическими векторами. (С этим обстоятельством
мы столкнемся уже вскоре, см. п. 7.4.)
§6            Основная теорема о линейных отображениях                         71

     По построению, β(B) = En , т. е.

                            β(bi ) = ei ; i = 1, ..., n.                     (6.20)

     Следовательно,
                                                                  
                                                              x1
                     n
                     X            n
                                  X                 n
                                                    X        x 
        β(x) = β(     x i bi ) =     xi β(bi ) =     xi ei =  2  = x,
                                                              ···
                  i=1            i=1             i=1
                                                              xn

что совпадает с (6.19). ¤
     В дальнейшем нам понадобится также изоморфизм
                                                   n
                                                   X
              −1     n            −1
          β        : P −→ V ; β        (x) = x =         xi bi ; x ∈ P n ,   (6.21)
                                                   i=1


обратный к (6.20).
   Замечание 6.1. Выбор базиса в абстрактном к.л.п. есть дело "слу-
чайное" (см. пример 4.1); никакого предпочтительного выбора нет.
Поэтому и изоморфизм (6.18), определяемый по базису в данном
пространстве, является случайным.
   При замене некоторого базиса B на новый базис B0 изоморфизм β
заменяется на другой изоморфизм β 0 . (О связи этих изоморфизмов
см. ниже, в п. 7.3.)
   Случайные изоморфизмы мало ценятся в теории. Бо́льшую тео-
ретическую ценность представляют так называемые канонические
изоморфизмы, задание которых не зависит ни от каких случайных
факторов (типа выбора базисов).
   Заметим однако, что при описании алгоритмов линейной алгебры
и организации практических вычислений в линейных пространствах
неизбежно приходится фиксировать некоторый базис в к.л.п., фак-
тически заменяя задачу, решаемую в этом пространстве, на анало-
гичную задачу в арифметическом линейном пространстве.
   Все изучаемые далее алгоритмы работают именно (и исключи-
тельно) с арифметическими векторами. (С этим обстоятельством
мы столкнемся уже вскоре, см. п. 7.4.)

Страницы