Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Замена базиса. Матрица перехода 73
которая и служит матрицей перехода от от B к B
0
В следующем предложении собраны основные свойства таких мат-
риц.
Предложение 7.1. 1. Матрицей перехода от базиса B к нему
самому служит единичная матрица E
n
.
2. Пусть B, B
0
и B
00
— три базиса в n-мерном линейном простран-
стве V. Если матрица T является матрицей перехода от базиса B к
базису B
0
, а матрица S — матрицей перехода от B
0
к B
00
, то матрица
T · S является матрицей перехода от B к B
00
.
3. Всякая матрица перехода является обратимой, причем если T
служит матрицей перехода от B к B
0
, то T
−1
соответствует обратно-
му переходу, от B
0
к B.
Доказательство. 1. Первое утверждение совершенно очевидно.
В самом деле, если вектор b
1
из базиса B разложить по самому этому
базису, то получится: b
1
= 1 · b
1
+ 0 · b
2
+ ... + 0 · b
n
, т. е. вектору b
1
будет соответствовать координатный столбец e
1
и т. д.
2. Матрица первого перехода
T = (t
ij
)
n
i,j=1
описывается формулами (7.1). Выпишем аналогичные формулы,
описывающие матрицу
S = (s
jk
)
n
j,k=1
второго перехода:
b
00
k
= s
1k
b
0
1
+ s
2k
b
0
2
+ ... + s
nk
b
0
n
=
n
X
j=1
s
jk
b
0
j
; k = 1, ..., n. (7.1a)
(Обратите внимание на необходимость обозначения номера векто-
ра в третьем базисе новой буквой — того требуют правила обращения
с двойными суммами; см. [A
1
, п. 2.2].)
Введем в рассмотрение матрицу
R = (r
ik
)
n
i,k =1
,
соответствующую переходу от первого базиса (сразу) к третьему.
Для нее будем иметь еще один, совершенно аналогичный набор раз-
ложений:
b
00
k
= r
1k
b
1
+ r
2k
b
2
+ ... + r
nk
b
n
=
n
X
i=1
r
ik
b
i
; k = 1, ..., n. (7.1b)
§7                        Замена базиса. Матрица перехода                                          73

которая и служит матрицей перехода от от B к B0
  В следующем предложении собраны основные свойства таких мат-
риц.
   Предложение 7.1. 1. Матрицей перехода от базиса B к нему
самому служит единичная матрица En .
   2. Пусть B, B0 и B 00 — три базиса в n-мерном линейном простран-
стве V. Если матрица T является матрицей перехода от базиса B к
базису B0 , а матрица S — матрицей перехода от B0 к B 00 , то матрица
T · S является матрицей перехода от B к B00 .
   3. Всякая матрица перехода является обратимой, причем если T
служит матрицей перехода от B к B 0 , то T −1 соответствует обратно-
му переходу, от B0 к B.
   Доказательство. 1. Первое утверждение совершенно очевидно.
В самом деле, если вектор b1 из базиса B разложить по самому этому
базису, то получится: b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + ... + 0 · bn , т. е. вектору b1
будет соответствовать координатный столбец e1 и т. д.
   2. Матрица первого перехода
                                                            n
                                              T = (tij )i,j=1

описывается формулами (7.1). Выпишем аналогичные формулы,
описывающие матрицу
                                 n
                       S = (sjk )j,k=1
второго перехода:
                                                                n
                                                                X
     b00k   =   s1k b01   +   s2k b02   + ... +   snk b0n   =         sjk b0j ; k = 1, ..., n.   (7.1a)
                                                                j=1

   (Обратите внимание на необходимость обозначения номера векто-
ра в третьем базисе новой буквой — того требуют правила обращения
с двойными суммами; см. [A1 , п. 2.2].)
   Введем в рассмотрение матрицу
                                                            n
                                             R = (rik )i,k=1 ,

соответствующую переходу от первого базиса (сразу) к третьему.
Для нее будем иметь еще один, совершенно аналогичный набор раз-
ложений:
                                                                n
                                                                X
     b00k   = r1k b1 + r2k b2 + ... + rnk bn =                        rik bi ; k = 1, ..., n.    (7.1b)
                                                                i=1

Страницы