Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 76 стр.

76      Линейные пространства. Базисы и размерности               Гл. 1

(сравните с доказательством предложения 5.1, но не запутайтесь:
буквы используются другие).
   Из последнего равенства, с учетом линейной независимости A,
вытекает обращение в нуль всех координат [T · λ ]i (i = 1, ..., n), т. е.
векторное равенство T · λ = 0 (где λ, 0 ∈ P n ), домножая которое
слева на T −1 , мы получим λ = 0, что и требовалось.
   2. Итак, если T — обратимая матрица, то формулы (7.6) опреде-
ляют базис (7.5), причем матрица T как раз будет матрицей перехода
от (7.4) к (7.5). Биекция

         { базисы в V } ←−
                        −−
                         →− { обратимые (n × n)-матрицы }

установлена. ¤
   Замечание 7.1. Результат предложения 7.2 можно пересказать не-
сколько иначе (менее формально): в n-мерном к.л.п. столько бази-
сов, сколько существует обратимых (n × n)-матриц с элементами из
основного поля.
   При n = 1 получается, что базисов (в одномерном пространстве)
столько, сколько в поле ненулевых элементов. (Единственным слу-
чаем, когда базис определен однозначно, является случай простран-
ства над полем P = F2 .)
   Полезная комбинаторная задача: подсчитать, сколько имеется об-
ратимых (n × n)-матриц с элементами из поля P = Fq , конечной
мощности q. (Из курсов общей алгебы или дискретной математики
вы вскоре должны узнать, что конечные поля бывают только при-
марного порядка, т. е. число q обязательно должно иметь вид q = pk ,
где p — простое, а k — натуральное число.)
   Решив эту задачу, вы определите количество различных базисов
в конечномерном пространстве над конечным полем.
  Замечание 7.2. Для арифметического линейного пространства
V = P n имеется предпочтительный (естественный) выбор фиксиро-
ванного базиса: A = En . Тогда матрицей перехода от естественного
базиса к произвольному базису

                          B = [ b1 , b2 , ... , bn ]               (7.5a)

будет матрица, составленная из векторов-столбцов, входящих в спи-
сок (7.5а):                ¡ ¯ ¯ ¯ ¢
                       B = b1 ¯ b2 ¯ ... ¯bn .             (7.7a)