Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

78 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Замечание 7.3 (для служебного пользования). В обозначении x
0
штрих относится скорее к черточке, чем к вектору x. Меняется не
вектор, а базис, по которому он разлагается. Черта со штрихом
обозначает координатный столбец, соответствующий x, в новом ба-
зисе. (Если бы нам понадобилось ввести новый вектор x
0
, то столбец,
соответствующий ему в старом базисе, мы обозначили бы x
0
.)
Рассмотрим далее матрицу перехода (7.2), определяемую по раз-
ложениям (7.1). Справедливо следующее
Предложение 7.3. При замене в n-мерном пространстве V ба-
зиса B на базис B
0
, с матрицей перехода T , для любого вектора x ∈ V
соответствующие координатные столбцы x, x
0
∈ P
n
связаны форму-
лами
x = T · x
0
; x
0
= S · x, (7.12)
где S = T
−1
— матрица перехода для обратной замены.
Доказательство. Подставим во вторую из формул (7.11) выра-
жение (7.1) для b
0
j
и (в который уже раз!) повторим манипуляции с
двойными суммами:
x =
n
X
j=1
x
0
j
b
0
j
=
n
X
j=1
x
0
j
Ã
n
X
i=1
t
ij
b
i
!
=
n
X
i=1
n
X
j=1
t
ij
x
0
j
b
i
=
n
X
i=1
[T · x
0
]
i
b
i
.
Сравним полученный результат с первой из формул (7.11). Мы
имеем два разложения одного и того же вектора x по одному и то-
му же базису B. В силу свойства единственности, соответствующие
коэффициенты в этих разложениях должны совпадать:
x
i
= [T · x
0
]
i
; i = 1, ..., n,
или, в векторном виде: x = T · x
0
.
Первая из формул (7.12), выражающая старый координатный сто-
лбец через новый, доказана. Вторая из нее немедленно следует. ¤
Замечание 7.4.
∗
Результат предложения 7.3 допускает оператор-
ное выражение, использующее линейные изоморфизмы
β, β
0
: V
∼
=
→ P
n
, (7.13)
78     Линейные пространства. Базисы и размерности                                           Гл. 1

   Замечание 7.3 (для служебного пользования). В обозначении x0
штрих относится скорее к черточке, чем к вектору x. Меняется не
вектор, а базис, по которому он разлагается. Черта со штрихом
обозначает координатный столбец, соответствующий x, в новом ба-
зисе. (Если бы нам понадобилось ввести новый вектор x0 , то столбец,
соответствующий ему в старом базисе, мы обозначили бы x0 .)
  Рассмотрим далее матрицу перехода (7.2), определяемую по раз-
ложениям (7.1). Справедливо следующее
   Предложение 7.3. При замене в n-мерном пространстве V ба-
зиса B на базис B0 , с матрицей перехода T , для любого вектора x ∈ V
соответствующие координатные столбцы x, x0 ∈ P n связаны форму-
лами

                                     x = T · x0 ; x0 = S · x,                                (7.12)
где S = T −1 — матрица перехода для обратной замены.
  Доказательство. Подставим во вторую из формул (7.11) выра-
жение (7.1) для b0j и (в который уже раз!) повторим манипуляции с
двойными суммами:
                                   Ã n             !                       
     n
     X                 n
                       X            X                      n
                                                           X      Xn               n
                                                                                   X
x=         x0j b0j =         x0j          tij bi       =            tij xj  bi =
                                                                          0
                                                                                     [T · x0 ]i bi .
     j=1               j=1          i=1                    i=1     j=1               i=1


  Сравним полученный результат с первой из формул (7.11). Мы
имеем два разложения одного и того же вектора x по одному и то-
му же базису B. В силу свойства единственности, соответствующие
коэффициенты в этих разложениях должны совпадать:

                                   xi = [T · x0 ]i ; i = 1, ..., n,

или, в векторном виде: x = T · x0 .
  Первая из формул (7.12), выражающая старый координатный сто-
лбец через новый, доказана. Вторая из нее немедленно следует. ¤

  Замечание 7.4.∗ Результат предложения 7.3 допускает оператор-
ное выражение, использующее линейные изоморфизмы
                                                           ∼
                                                           =
                                          β, β 0 : V → P n ,                                 (7.13)

Страницы