Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

˙r
r(t) ϕ(t)
˙r = h(r, c, E) ˙ϕ = c/r
2
r(ϕ)
dr
dϕ
=
r
2
h(r, c, E)
c
h(r, c, E)
m
f = −γ
Mm
r
2
= −
mµ
r
2
, Π = −γ
Mm
r
= −
mµ
r
, (21.3)
γ M O
µ = γM
f
u
00
+ u =
µ
c
2
(21.4)
u = µ/c
2
u =
µ
c
2
+ A cos(ϕ + β), (21.5)
A β A > 0
β u = 1/r
r(ϕ)
r =
p
1 + e cos(ϕ + β)
, (21.6)
p e
p =
c
2
µ
, e =
Ac
2
µ
> 0. (21.7)
O
e
Åñëè ñîîòíîøåíèå (21.2) àëãåáðàè÷åñêè ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî ṙ, òî çàäà÷à
íàõîæäåíèÿ äâèæåíèÿ r(t), ϕ(t) ñâåä¼òñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ äâóõ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé: ṙ = h(r, c, E) è ϕ̇ = c/r2 (ñì. (20.4)). Äëÿ íàõîæäåíèÿ
òðàåêòîðèè r(ϕ) òî÷êè íóæíî îäíî óðàâíåíèÿ ðàçäåëèòü íà äðóãîå, ïîëó÷èì
óðàâíåíèå
                                 dr    r2 h(r, c, E)
                                     =
                                dϕ           c
ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.  ÷àñòíîñòè, â ïîëå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ
(ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ïðèñóòñòâóþùàÿ â h(r, c, E), ïðèâåäåíà íèæå â (21.3))
ýòî óðàâíåíèå èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ è îïðåäåëÿåò îðáèòû â
íåáåñíîé ìåõàíèêå [1, ãë. III, Ÿ 7]. Çäåñü îðáèòû áóäóò âû÷èñëåíû ïðè ïîìîùè
óðàâíåíèÿ Áèíå (20.9).
    ïîëå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ íà òî÷êó ìàññû m äåéñòâóåò ñòàöèîíàðíî ïî-
òåíöèàëüíàÿ öåíòðàëüíàÿ ñèëà (20.1). Ïðèâåä¼ì å¼ âåëè÷èíó è ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ (ñì. (21.1)):
                        Mm    mµ                     Mm    mµ
               f = −γ     2
                            =− 2 ,          Π = −γ      =−    ,        (21.3)
                        r     r                       r     r
γ  âñåìèðíàÿ ïîñòîÿííàÿ, M  ìàññà ðàñïîëîæåííîãî â íåïîäâèæíîé òî÷êå O
Ñîëíöà, µ = γM  ïîñòîÿííàÿ äëÿ äàííîé Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Ïîäñòàíîâêà
âåëè÷èíû f ñèëû â óðàâíåíèå Áèíå (20.9) îïðåäåëÿåò ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå
óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
                                             µ
                                 u00 + u =                             (21.4)
                                             c2
ñ î÷åâèäíûì ÷àñòíûì ðåøåíèåì u = µ/c2 , äîáàâëåíèå êîòîðîãî ê îáùåìó ðå-
øåíèþ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé) ïðèâîäèò ê îáùåìó ðå-
øåíèþ óðàâíåíèÿ (21.4)
                               µ
                          u = 2 + A cos(ϕ + β),                      (21.5)
                               c
A, β  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïðåäïîëàãàåì A > 0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
ìèíóñ ìîæíî ïåðåãíàòü â β . Ñ ó÷¼òîì (20.7) (u = 1/r) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
r(ϕ) òðàåêòîðèè
                                        p
                           r=                    ,                   (21.6)
                                1 + e cos(ϕ + β)
ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ôîêàëüíîãî ïàðàìåòðà p è ýêñöåíòðèñèòåòà e
                                c2          Ac2
                           p=      ,   e=       > 0.                   (21.7)
                                µ            µ
Òðàåêòîðèè, îïðåäåë¼ííûå (21.6), åñòü êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ â ïîëÿðíûõ êîîðäè-
íàòàõ, Ñîëíöå O ðàñïîëîæåíî â ôîêóñàõ. Èç (21.6) âèäíî, ÷òî â çàâèñèìîñòè
îò ýêñöåíòðèñèòåòà e âîçìîæíû ñëåäóþùèå âèäû ñå÷åíèé  òðàåêòîðèé íåáåñ-
íûõ òåë:

                                       76

Страницы