Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F = f(r, ϕ)r/r
δA = (F, dr) = f(r, ϕ)
(r, dr)
r
= f(r, ϕ)
rdr
r
= f(r, ϕ)dr,
(r, dr) =
1
2
d(r, r) =
1
2
d(r
2
) = rdr
δA = f(r, ϕ)dr + 0dϕ = −dΠ(r, ϕ) = −
∂Π
∂r
dr −
∂Π
∂ϕ
dϕ.
∂Π
∂r
= −f(r, ϕ),
∂Π
∂ϕ
= 0
∂
2
Π
∂r∂ϕ
= −
∂f(r, ϕ)
∂ϕ
= 0.
f(r) r
O
f(r) Π(r)
f(r) = −
∂Π(r)
∂r
, Π(r) = −
Z
f(r)dr. (21.1)
T + Π =
1
2
mV
2
+ Π(r)
(8.4)
=
1
2
m( ˙r
2
+ ˙ϕ
2
r
2
) + Π(r)
(20.4)
=
=
1
2
m
Ã
˙r
2
+
c
2
r
2
!
+ Π(r) = E = const.
(21.2)
Ÿ 21. ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÛÉ ÑËÓ×ÀÉ.
ÄÂÈÆÅÍÈÅ Â ÏÎËÅ ÂÑÅÌÈÐÍÎÃÎ ÒßÃÎÒÅÍÈß

Èçó÷èì âîïðîñ: ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ öåíòðàëüíàÿ ñèëà (îïðåäåëåíèå 20.1) ñòà-
öèîíàðíî ïîòåíöèàëüíà (îïðåäåëåíèå 19.2). Â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ â ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ íà ðîëü ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíîé ñèëû ïðåòåíäóåò öåíòðàëüíàÿ
ñèëà F = f (r, ϕ)r/r. Âû÷èñëèì ýëåìåíòàðíóþ ðàáîòó:
                                      (r, dr)            rdr
            δA = (F, dr) = f (r, ϕ)           = f (r, ϕ)     = f (r, ϕ)dr,
                                         r                r
èñïîëüçîâàíî òîæäåñòâî (r, dr) = 21 d(r, r) = 21 d(r2 ) = rdr. Ïî òåîðåìå 19.1 äëÿ
ïîòåíöèàëüíîñòè ñèëû ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà äîëæíà áûòü ïîëíûì äèôôåðåí-
öèàëîì:
                                                       ∂Π       ∂Π
           δA = f (r, ϕ)dr + 0dϕ = −dΠ(r, ϕ) = −           dr −    dϕ.
                                                        ∂r      ∂ϕ
Ïðèðàâíèâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè äèôôåðåíöèàëàõ îò íåçàâèñèìûõ ïåðåìåí-
íûõ îïðåäåëÿåò ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
                           ∂Π                     ∂Π
                              = −f (r, ϕ),           =0
                           ∂r                     ∂ϕ
è óñëîâèå å¼ èíòåãðèðóåìîñòè
                             ∂ 2Π    ∂f (r, ϕ)
                                  =−           = 0.
                             ∂r∂ϕ       ∂ϕ
Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 19.1 èìååò ìåñòî
Òåîðåìà 21.1. Öåíòðàëüíàÿ ñèëà ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíà (ìàòåðèàëüíàÿ
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìîé) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ âå-
ëè÷èíà f (r) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé è
íà÷àëüíîé òî÷êîé O ðàäèóñâåêòîðà.
Ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíóþ öåíòðàëüíóþ ñèëó ìîæíî çàäàâàòü èëè å¼ âåëè-
÷èíîé f (r) èëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé Π(r). Ìåæäó íèìè ñëåäóþùàÿ ñâÿçü:
                                               Z
                              ∂Π(r)
                    f (r) = −       , Π(r) = − f (r)dr.            (21.1)
                               ∂r
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 19.2 äëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì ñïðàâåäëèâ çàêîí
ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðûé ñ ó÷¼òîì (8.4), (20.4), (21.1)
äëÿ öåíòðàëüíîé ñèëû ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
                1              (8.4) 1                            (20.4)
         T + Π = mV 2 + Π(r) = m(ṙ2 + ϕ̇2 r2 ) + Π(r)             =
                2    Ã         ! 2
                             2                                               (21.2)
                  1        c
                = m ṙ2 + 2 + Π(r) = E = const.
                  2        r

                                          75

Страницы