Краткий курс теоретической механики. Яковенко Г.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

O V
0
r ϕ
V = V
r
+ V
ϕ
V
r
= ˙r V
ϕ
= r ˙ϕ
V = V
r
+ V
ϕ
K
0
= [r, mV] = [r, m(V
r
+ V
ϕ
)] = [r, mV
ϕ
]
K
0
= mr
2
˙ϕ = const, c =
K
0
m
, c = r
2
˙ϕ = const. (20.2)
c = r
2
˙ϕ
O
Dj
r
r+ rD
∆t
∆S =
1
2
(r + ∆r)r sin ∆ϕ =
1
2
r
2
∆ϕ ∆t
∆t → 0
dS
dt
=
1
2
r
2
˙ϕ =
1
2
c =
K
0
2m
= const, (20.3)
dS/dt
r(t)
˙ϕ =
c
r
2
. (20.4)
÷åðåç òî÷êó O è íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü V0 .  ïëîñêîñòè ââåä¼ì ïîëÿðíûå êîîð-
äèíàòû r, ϕ (Ÿ 8). Ñêîðîñòü òî÷êè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ âûðàæàåòñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì ((8.1)  (8.3)): V = Vr + Vϕ , Vr = ṙ, Vϕ = rϕ̇. Â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ ðàçëîæåíèåì V = Vr + Vϕ äëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ïîëó÷èì (ðèñ (20.1)):
K0 = [r, mV] = [r, m(Vr + Vϕ )] = [r, mVϕ ],
                                             K0
              K0 = mr2 ϕ̇ = const,     c=       ,   c = r2 ϕ̇ = const.        (20.2)
                                             m
Õàðàêòåðèñòèêó c = r2 ϕ̇ áóäåì íàçûâàòü ïðèâåä¼ííûì ìîìåíòîì èìïóëü-
ñà.



                              r+Dr                                       Dj

  O                                                  r

                                     Ðèñ. 20.2

Çà ìàëîå âðåìÿ ∆t ðàäèóñâåêòîð, ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà è
âûøå, çàìåòàåò òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà (ðèñ. 20.2):
∆S = 21 (r + ∆r)r sin ∆ϕ = 21 r2 ∆ϕ. Äåëåíèå ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ íà ∆t è
ïåðåõîä ê ïðåäåëó ∆t → 0 ïðèâîäèò ê ôîðìóëå (ñì. (20.2))
                       dS  1       1    K0
                          = r2 ϕ̇ = c =    = const,                           (20.3)
                       dt  2       2    2m
êîòîðàÿ îáîñíîâûâàåò
Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà. Ïðè äâèæåíèè ïîä âîçäåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû
ïëîùàäü, çàìåòàåìàÿ ðàäèóñâåêòîðîì, ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè äâèæåíèÿ.
Ïðîèçâîäíàÿ dS/dt íàçûâàåòñÿ ñåêòîðèàëüíîé ñêîðîñòüþ, âñëåäñòâèå (20.3)
ñîõðàíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà èíîãäà íàçûâàþò èíòåãðàëîì ïëîùàäåé. Èç
çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (20.2) ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: ïðè äâèæåíèè ïîä
âîçäåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû äîñòàòî÷íî çíàòü èçìåíåíèå âî âðåìåíè îäíîé
èç ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò, íàïðèìåð, r(t). Èçìåíåíèå äðóãîé êîîðäèíàòû íàõî-
äèòñÿ èç (20.2):
                                       c
                                  ϕ̇ = 2 .                          (20.4)
                                      r

                                        73

Страницы