Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
Производные, дифференциалы
и первообразные
§ 1. Определения производных
и дифференциалов
Предел разностного отношения
f(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
(1)
при h → 0 называется производной функции f в точке x
0
и
обозначается f
0
(x
0
).
Заметим, что этот предел может быть как конечным,
так и бесконечным, равным +∞ или −∞. Кроме того, рас-
сматриваются и односторонние пределы: при h → +0 и при
h → −0.
Предел отношения (1) при h → +0 (h → −0) называ-
ется правой (левой) производной функции f в точке x
0
и
обозначается f
+
0
(x
0
) (соотв. f
−
0
(x
0
) ).
Функция f называется дифференцируемой в точке x
0
,
если она определена в некоторой окрестности точки x
0
и в
этой точке имеет конечную производную.
Пусть D
0
f
— множество точек, в которых функция f
имеет конечную производную. Тогда функция, которая ка-
ждому x ∈ D
0
f
ставит в соответствие число f
0
(x), называ-
ется производной функции y = f(x) и обозначается f
0
или
y
0
.
Доказать следующие утверждения:
1. (sin x)
0
= cos x ∀x ∈ R.
2. (|x|)
0
= sgn x ∀x 6= 0.
3. (cos x)
0
= −sin x ∀x ∈ R.
4. (a
x
)
0
= a
x
ln a ∀x ∈ R, a > 0.
5. (log
a
x)
0
=
1
x
log
a
e ∀x > 0; a > 0, a 6= 1.
                  Глава 1
        Производные, дифференциалы
              и первообразные

            § 1. Определения производных
                  и дифференциалов
    Предел разностного отношения
                        f (x0 + h) − f (x0 )
                                                       (1)
                                 h
при h → 0 называется производной функции f в точке x0 и
обозначается f 0 (x0 ).
    Заметим, что этот предел может быть как конечным,
так и бесконечным, равным +∞ или −∞. Кроме того, рас-
сматриваются и односторонние пределы: при h → +0 и при
h → −0.
    Предел отношения (1) при h → +0 (h → −0) называ-
ется правой (левой) производной функции f в точке x0 и
обозначается f+ 0 (x0 ) (соотв. f− 0 (x0 ) ).
    Функция f называется дифференцируемой в точке x0 ,
если она определена в некоторой окрестности точки x0 и в
этой точке имеет конечную производную.
    Пусть Df0 — множество точек, в которых функция f
имеет конечную производную. Тогда функция, которая ка-
ждому x ∈ Df0 ставит в соответствие число f 0 (x), называ-
ется производной функции y = f (x) и обозначается f 0 или
y0.

   Доказать следующие утверждения:
   1.   (sin x)0 = cos x ∀x ∈ R.
   2.   (|x|)0 = sgn x ∀x 6= 0.
   3.   (cos x)0 = − sin x ∀x ∈ R.
   4.   (ax )0 = ax ln a ∀x ∈ R, a > 0.
                   1
   5. (loga x)0 = x loga e ∀x > 0;    a > 0,   a 6= 1.

Страницы