Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 5 стр.

6       Глава 1. Производные, дифференциалы и первообразные

   2. Сформулировать правило дифференцирования слож-
ной функции.
   3. Чему равна производная обратимой функции, у ко-
торой обратная функция имеет производную?
    4. Доказать формулы:
                               1                          1
(xα )0 = αxα−1 , (arcsinx)0 = √      , (arccosx)0 = − √        ,
                             1−x   2                    1 − x2
                      1                        1
        (arctg x)0 =    2
                          , (arcctg x)0 = −        .
                     1+x                    1 + x2
    5. Когда функция y = f (x) называется функцией, за-
данной параметрически? По какой формуле вычисляется
ее производная?
   6. Написать формулу Лейбница для n-й производной от
произведения двух функций.
   7. Какое свойство первого дифференциала называется
свойством инвариантности формы? Обладает ли этим
свойством дифференциал 2-го порядка?
    8. Найти производную функции y = xx , x > 0.
    9. Доказать, что
                            π                            π
    (sin x)(n) = sin (x +     · n), (cos x)(n) = cos (x + · n).
                            2                            2
     10. Доказать, что любая функция y = ϕ(x), x ∈
∈ (a; b), удовлетворяющая дифференциальному уравнению
y 0 = f (y), бесконечно дифференцируема на интервале (a; b),
если функция f (y) определена и бесконечно дифференциру-
ема на R.
                                                                  1
   11. При каких значениях α функцию f (x) = |x|α sin x
можно доопределить в точке x = 0 так, чтобы она имела
непрерывную производную?
   12. Доказать, что функция f (x) = sin x+cos πx не явля-
ется периодической.