Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Яковлев Г.Н. - 7 стр.

8         Глава 1. Производные, дифференциалы и первообразные


   2. Если все корни многочлена Pn (x) степени n действи-
                             (k)
тельны, то любое уравнение Pn (x) = 0, k = 1,2,...,n − 1,
имеет действительный корень.
     3.    Если функция f (x) дифференцируема на [0; 1] и
f 0 (0)f 0 (1)
             < 0, то ∃ξ ∈ (0; 1) : f 0 (ξ) = 0.
   4. Если функция f является производной некоторой
функции, то она любой промежуток ∆ ⊂ Df отображает
на промежуток.
   5. Пусть функция f (x) имеет производную на интер-
вале (a; x0 ). Если f (x) непрерывна слева в точке x0 , а f 0 (x)
имеет предел при x → x0 − 0, то этот предел равен f− 0 (x0 ).
Справедливо ли обратное утверждение?
   Сформулировать и доказать аналогичное утверждение
для правой производной.
   6. Если функция f (x) непрерывна на [0; 1], дифференци-
руема на (0; 1) и, кроме того, f (0) = 4, f (1) = 2 и f 0 (x) > −2
∀x ∈ (0; 1), то эта функция линейная.
    7. Все корни производной многочлена
              P (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
действительные, простые и лежат на интервалах (0;1),
(1;2), (2;3), (3;4).
     8. Если функция f (x) дифференцируема на отрезке
[a; b], у которого a 6= b и ab > 0, то
                            1   a     b
          ∃ξ ∈ (a; b) :                     = f (ξ) − ξf 0 (ξ).
                          a − b f (a) f (b)

   9. Если функция f на отрезке [a; b] удовлетворяет всем
условиям теоремы Ролля и не является постоянной, то
            ∃ξ1 ,ξ2 ∈ (a; b) : f 0 (ξ1 ) < 0 < f 0 (ξ2 ).
   10. Справедливо ли утверждение: если функция f (x)
непрерывно дифференцируема на (a; b), то
          ∀ξ ∈ (a; b) ∃[α; β] ⊂ (a; b) : ξ ∈ (α; β)